Bonsoir
j'ai cet exercice et j'ai besoin d'un aide
Soit E un espace de Banach et u : E --> E un endomorphisme continue .Montrer que l'endomorphisme u est nilpotent si et seulement si
∀ x ∈ E ,∃ n ∈ IN tel que u^n (x) =0
si E n'est pas complet ce résultat est il valable ?
Merci.
Lis d’abord EXERCICES et FORUM et fais ce qui y est demandé.
Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac
Pardon,
pour la première implication , si u est nilpotent alors ∀ x ∈ E ,∃ n ∈ IN tel que u^n (x) =0 il s'agit de la définition d'une application nilpotent ,
mais mon problème concerne la deuxième implication .
la condition dit que pour tout x dans E il existe un n(x) dans N tel que u^n(x)(x)=0. Le problème c'est que la fonction n(x) pourrait ne pas être bornée. Ce que tu dois montrer c'est que la condition de continuité de u implique qu'elle l'est (bornée). Et la deuxième question te donne un indice: on est dans un Banach, et il faut utiliser ce fait.
Merci beaucoup
La continuité de u implique la continuité en 0 qui implique aussi que u est borné sur la boule unité et puisque u^n (x)(x) =0 alors n (x) est borné (est ce que c'est juste? ) ce qui prouve que u est nilpotent
Merci d'avance.
Qu'est-ce qui te permet d'affirmer ça?puisque u^n (x)(x) =0 alors n (x) est borné
J'ai bloqué dans cette étape
J'ai essayé de continuer la démonstration par les normes mais j'ai pas trouvé la solution
En fait
Puisque u est borné sur la boule unité alors ∃M>0 ,||u (x)||<=M ,∀ ||x||<=1
Donc ∀ ||x||<=1 , ||u^n (x)(x)||<||u (x)||^n (x)< M^n (x) et comme u^n (x)(x)=0 alors
|| u^n (x)(x)||=0 donc M^n (x) >0 pour la suite est ce que cette condition (M^n (x) >0)
suffit pour dire que
n (x) est borné?
Indice : On note. Montre qu'il existe un
Merci beaucoup pour votre aide ,j'ai enfin trouvé la solution.
Pour le cas E non complet, est-ce que tu serais capable de donner un contre-exemple?
Au passage, pour mon indice, il aurait été plus judicieux que ce soit "Montrer qu'il existe un n tel que Dn soit d'intérieur non vide"
En principe le prof nous dit d'utilser l'endomorphisme de dérivation tel que E=IR [X] muni de la norme
||p||=somme de n=0 à n=∞ (|p ^(n)(0)|)
Est ce que l'idée c'est de montrer que l'endomorphisme de dérivation est non continue pour cette norme?
En fait j'ai pris un exemple p=a1 x +a2 x^2 +....an x^n et donc ||p'||=a1+2 a2 +....n! an mais je ne suis pas sur pour le reste .
Justement, l'endomorphisme de dérivation
C'est à dire qu'il est localement nilpotent,mais comme même il reste le problème si E n'est pas complet je n'ai vraiment pas d'idées.
