Endomorphisme nilpotent

[invitee1184cf4]

Bonjour, je n'arrive pas à terminer cet exercice :
Soient E un espace vectoriel de dim finie, f et g deux endomorphismes de E tq :
fog-gof=f
On se propose de démontrer que f est nilpotent.
1) Vérifier que pour tout k appartenant à N*, f^kog-gof^k=kf^k
2) Montrer que si Q(λ) est un polynôme annulateur de f, alors foQ'(f)=0
3) Déterminer le polynôme minimal de f. En déduire que f est nilpotent.

J'ai réussi les deux premières questions, mais je bloque à la troisième, auriez vous des pistes ?
Merci d'avance pour votre aide.
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[Deedee81]

Bonjour,

Bienvenue sur Futura.

Attention, tu avais mis ta question.... dans le forum de test !
Je l'ai déplacé dans le forum de math du supérieur où il y aura certainement plus de réponses

[invite23cdddab]

La question 2) te dit que XQ'(X) est un polynôme annulateur de f

Supposons maintenant que Q(X) est le polynôme minimal de f, tu as alors que XQ'(X) est aussi (à un facteur scalaire prêt) égal au polynôme minimal, vu qu'il est de même degré et annule f

[invite8f5247dd]

Je ne comprends pas une chose, de cette dernière hypothèse nous devrions conclure que le seul polynôme minimal envisageable est tel que Q(X)=aXQ'(X), a une constante, par exemple de la forme X^k ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour toi, X^k est une constante ?????

Rappel : le polynôme minimal est défini à une constante non nulle près (P(f)=0 <==> aP(f)=0), et on le choisit souvent unitaire.

Cordialement.

[invite8f5247dd]

Non, a est une constante, X^k est le polynôme minimal

[gg0]

Alors tu as vraiment tout mélangé dans le message #4 : Tu as redit en plus mal écrit ce qu'il y avait dans le message #3 ???

Il y avait tout !! Puisque le polynôme minimal est unique à multiplication par une constante près, on a effectivement une constant a non nulle telle que Q(x)=aXQ'(x).
Il te reste à finir le travail, c'est assez simple, mais ce n'est pas "par exemple" que tu dois prouver ... et tu ne peux pas dire "X^k est le polynôme minimal tgant que tu ne l'as pas prouvé (et c'est le sujet de ta question !!!).

Bon travail !