Endomorphisme Nilpotent

[invite8cd68189]

Bonjour, Actuellement en L2 parcours renforcé Mathématique je suis des cours d'algèbre Multi Linéaire.

Nous sommes au début de l'année et effectuons donc des révisions sur l'algèbre linéaire. Je fais appel a vous, car je suis dans l'incapacité de résoudre un exercice, et je suis à la recherche de pistes et d'explications.

Nous sommes dans un espaces vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme.
J'ai déjà montrez les équivalences suivantes :
- f o f =0 <=> Imf C Kerf
- f o f =0, rang f < ou = n/2

je bloque à cette question.
Ecrire dans la base canonique de R3 un exemple d'endomorphisme nilpotent d’ordre 2 ayant pour image la droite vectorielle engendrée par le vecteur ( 1,2,3).

J'ai déjà réfléchis sur la question, je pense qu'il faut trouver une autre base de R3 puis effectuer un changement de base, il me faudrait une base du style (u,v,w), où u=(1,2,3) base de Imf
v=(a,b,c) w=(e,f,g) base de Kerf.

J'ai déjà montrer que f o f=0 => Imf C Kerf, je sais que cela doit pouvoir m'aider... mais je ne sais pas trop comment...

Merci de vos futures réponses.
Amicalement Koooook.
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[invite57a1e779]

Avec ce que tu connais : donc .
Il faut bien commencer avec l'image de base u=(1,2,3), mais une base du noyau sera (u,v), et il faudra compléter par un troisième vecteur w qui n'appartient pas au noyau.
Tu as un choix assez large pour v et w.

[invite8cd68189]

Merci, je vais me pencher sur ça ce soir.
Par contre je ne comprend pas un truc, dans ma base de trois vecteurs, j'aurai une base de kerf et une base de imf, or imf C kerf.... comme je ne peux pas avoir des vecteurs colinéaires, je ne sais pas comment choisir mon dernier vecteurs qui est sensé caractériser imf...
Bonne soirée.

[invite57a1e779]

Dans ta base (u,v,w) :
– u=(1,2,3) est une base de l'image ;
– (u,v) est une base du noyau ;
– w n'appartient pas au noyau, donc encore moins à l'image puisqu'elle est contenue dans le noyau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8cd68189]

donc en faite je prend un vecteur quelconque.... d'accord faut juste qu'ils soit pas colinéaire des deux autres.
Il ne me reste plus qu'a trouver l'autre vecteur de la base du noyau.

[invite57a1e779]

On te demande un exemple d'endomorphisme nilpotent : tu peux choisir v et w à ta guise, pourvu que (u,v,w) soit une base de R³ ; chaque choix te conduira à un endomorphisme nilpotent.

[invite8cd68189]

J'ai vraiment des problème à voir comment peu être kerf.... à par toutes les droites parallèles à u je ne sais pas trop comment un vecteur peu appartenir à kerf..

edit: J'ai quand même une condition, l'endomorphisme doit avoir pour image la droite vectoriel de vecteur (1,2,3).

[invite57a1e779]

On reprend du début, et on ne parle pas de l'endomorphisme f pour l'instant.

On part de u=(1,2,3), peux-tu trouver v et w de telle sorte que (u,v,w) soit une base de R³ ?

[invite8cd68189]

En fait je crois pas avoir compris l'exo... parce que pour moi un endomorphisme nilpotent doit pourvoir vérifier un calcul matriciel de sorte que
M= matrice de l'endomorphisme dans notre base
a= (x,y,z)

M*a=b
M*b=0

et ça sa marche pas souvent.

[invite8cd68189]

oui je peux prendre u=(1,2,3) v=(0,1,0) et w=(0,0,1)

[invite57a1e779]

On rajoute un endomorphisme f.
Si Im(f) est la droite dirigée par u, si Ker(f) est le plan de base (u,v), quelles sont les valeurs de f(u), f(v) et f(w) ?

[invite8cd68189]

f(u), f(v) =0 et
mais comment calculer f(w)... ( c'est bien avec des petits exos comme ça qu'on se rend compte que j'ai tout oublier pendant les vacances... je vais revoir mon cours tout de suite)

[invite57a1e779]

On peut se servir de Im(f)...

[invite8cd68189]

Je suis complètement out..., je dirais que f(w)=(0,0,3) mais je suis pas sur ^^''

edit: En tout cas merci de passer du temps et d'être patient avec moi, parce que je comprend bien que je suis à la ramasse et que je vais devoir bosser.

[invite57a1e779]

Tu ne vois pas un lien entre f(w) et Im(f) ?

[invite8cd68189]

heu.... ba f(w) n'appartient pas à im(f)

[invite57a1e779]

f(w) n'appartient pas à im(f)

Quelle est la définition de Im(f) ?

[invite8cd68189]

y appartient à imf s'il existe x tel que y=f(x)
Le truc que je comprend pas c'est que s'il appartient à imf il appartient aussi à kerf, il est donc composition linéaire des deux autres non ?

[invite57a1e779]

y appartient à imf s'il existe x tel que y=f(x)

Oui, donc y=f(w) appartient à Im(f) qui est engendrée par ...

s'il appartient à imf il appartient aussi à kerf, il est donc composition linéaire des deux autres non ?

Effectivement, y=f(w) appartient à Ker(f), ce qui est heureux puisque, avec f nilpotent d'ordre 2 : f(y)=fof(w)=0.

[invite8cd68189]

désole double post..
C'est juste que je viens de me rendre compte que c'était une énorme connerie ce que j'ai dis... f(w) n’appartiens pas à imf...

EDIT: a oui je viens de comprendre... f(w) appartient a kerf pour que f(f(w))=0 ce qu'on cherche..

[invite8cd68189]

Maintenant que j'ai les matrices de mon endomorphisme,
Soit B ma base de R3

Soit B' ma base canonique de R3



car f(w) Kerf




Es-tu d'accord avec moi ?

Je vais ensuite faire un changement de base pour retourner dans l'ancienne.

[invite57a1e779]

Je n'ai rien compris, sinon que A est la matrice de passage de la base canonique à la base (u,v,w) que tu as construite.

[invite8cd68189]

heu A c'est la base que j'ai construite,
la deuxième matrice c'est la matrice que j'ai construite avec l'image de ma base..
la troisième c'est l'image de l'image de ma base,
et les autres sont les matrices de passages..

[invite57a1e779]

la deuxième matrice c'est la matrice que j'ai construite avec l'image de ma base.

Dans cette matrice, je vois bien que les deux premières colonnes traduisent f(u)=f(v)=0, mais je ne comprend pas à quoi correspond la troisième colonne.

[invite8cd68189]

ouai non rien oublie mon post avec les matrice j'ai fais du caca.
En tout cas, merci beaucoup de ton aide pour tout ca.

[invite8cd68189]

Par contre je ne comprend toujours pas comment écrire cet endomorphisme dans la base canonique...

[invite57a1e779]

La base canonique est (u',v,w) avec u'=(1,0,0). On connaît déjà f(v) et f(w), il reste à calculer f(u').
Pour ce faire, il suffit d'exprimer u' en fonction de u, v et w.

[invite8cd68189]

U'=(u-2v-3w)
Voila pour le u',

[invite57a1e779]

Le f(u') suit immédiatement.

[invite8cd68189]

f(u')=-3f(w) ? par linéarité.