Endomorphisme Nilpotent

[invite57a1e779]

Tout simplement.
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[invite8cd68189]

Que faire Ensuite ? Je ne comprend pas où tu veux en venir...

[invite57a1e779]

La base canonique est (u',v,w).
La matrice de f dans cette base est donnée par f(u')=-3f(w), f(v)=0 et f(w).
L'image de f est la droite engendrée par u=(1,2,3).
Le noyau de f est le plan de base (u,v).
Le vecteur f(w) appartient à Im(f).

Je ne vois pas où est le problème.

[invite8cd68189]

Je recherche un exemple d'endomorphisme, ici nous avons travaillons sur un endomorphisme nilpotent quelconque non ?
pour trouver un endomorphisme qui convient je dois trouver une application qui vérifie ces paramètre ?

[invite57a1e779]

Oui, et les calculs sont simples parce que tu as choisi v et w parmi les vecteurs de la base canonique, mais il faut bien comprendre que chaque choix de v et w fournira un exemple d'endomorphisme nilpotent, mais les calculs seront plus longs.
Tu as aussi le libre choix de f(w) dans Im(f)=Vect(u).

[invite8cd68189]

Merci beaucoup pour ton aide et ton temps.
Amicalement Koooook

[inviteea028771]

D’ailleurs de façon plus générale, il me semble que la matrice d'un tel endomorphisme en base canonique vérifie les propriétés suivantes:

Soit la matrice de cet endomorphisme dans la base canonique, alors :

Il existe un non nul.



a) assure que l'endomorphisme n'est pas la fonction nulle
b) assure que Im(f) = vect( (1,2,3) )
c) assure que f( vect(1,2,3) ) = {0}

Bon, je n'ai rien démontré ici, il faudrait le faire rigoureusement

[invite97d79020]

Bonjour.

Si tu ne sens pas encore remis des vacances en ce qui concerne les raisonnements algébriques, tu pouvait aussi dans ce cas trouver une matrice en résolvant un bête système. Les matrices obtenues ne sont pas des plus séantes, le raisonnement est moins élégant (voir barbare), mais il n'y a que du calcul.

Tu sais que tout les vecteurs de ta base ont une image dans donc quitte à multiplier l'application par un scalaire tu suppose que et tu pose et ce qui te donne une matrice du type . Ensuite, en posant le système correspondant à tu obtient les trois équations suivantes:





Quelques petites permutations et calculs et il ne reste plus que l'équation: . Tu peut alors prendre tout les que tu veux et obtenir une matrice qui répond aux conditions. Par exemples pour tu as la matrice . Dans l'absolu, le raisonnement qu'on t'a fais faire plus haut est quand même bien mieux je pense.

[invite8cd68189]

J'ai bien revu ça hier soir, mais je n'arrive toujours à comprendre par ou commencer, comment trouver cet endomorphisme...
Je bloque car je n'arrive pas à mettre les équations.


ou b est la base canonique de R3
Kerf= vect(u,v) et
Imf=vect(1,2,3)

Même avec ces informations je n'y arrive.
Je n'arrive pas à voir mon endomorphisme.

[sylvainc2]

Il te manque f(w) c'est ça? Bien, on te l'a déjà dit: f(w) est forcément dans im(f), or im(f) est de dimension 1, alors c'est pas difficile à trouver, tu connais déjà la réponse...