Groupes cyclique.

[leodark]

Bonjour,
Je n'ai visiblement pas compris quelque chose/mélange des définitions :
Point de départ :
On me demande de montrer que le groupe ((Z/17Z)*,x) est cyclique en trouvant simplement un générateur du groupe or je crois avoir montré que classe de 2 n'en ai pas un ( 2^9 mod 17 = 2).

Cependant comme 17 est premier on sait qu'il y a 16 générateurs de Z/17Z. (Le nombre de générateur d'un groupe cyclique est égale à l'indicatrice d'Euler de ce groupe). Or Card((Z/17Z)*) = 16 donc si (Z/17Z)* est cyclique tout élément de (Z/17Z)* devrait être un générateur et donc 2.
Sauf que visiblement non, donc je dois fondamentalement ne pas comprendre quelque chose de mon cours mais quoi?

Merci,
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[God's Breath]

(Le nombre de générateur d'un groupe cyclique est égale à l'indicatrice d'Euler de ce groupe). Or Card((Z/17Z)*) = 16 donc si (Z/17Z)* est cyclique

il admet générateurs, et la classe de 2 n'est pas un de ces 8 générateurs, comme tu l'as très bien remarqué.

[leodark]

Merci! (Mon problème venait d'une mauvaise définition de l'Indicatrice d'Euler)

[Tiky]

En fait tu as confondu générateur pour le groupe additif et pour le groupe multiplicatif Le groupe additif a bien 16 générateurs.

[A voir en vidéo sur Futura]