Ordre d'un entier

[mehdi_128]

Bonsoir,

Soit un nombre entier premier avec

1/ Montrer qu'il existe un plus petit entier naturel non nul tel que et que cet entier est inférieur ou égal à . Cet entier s'appelle l'ordre de et on le note .

J'ai fait : soit

E est une partie de et non vide car d'après le petit théorème de Fermat.
E admet un plus petit élément qui vérifie :



2/ Soit k un entier naturel. Montrer que :



Je me demande s'il y a pas une coquille dans la question j'aurais prisdans et pas ...

Montrons <=

Si alors il existe tel que :



Alors

Or : donc par stabilité des congruences par produit :



Pour l'autre implication j'ai pas réussi : =>

Pourriez-vous me donner une indication ?

Merci d'avance.
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[invite184b87fd]

Bonsoir,

Pense à la division euclidienne.

Cdt

[mehdi_128]

Supposons que : pour entier naturel.
Montrons que

Effectuons la division euclidienne de par , on obtient :

avec

Donc

D'après la question précédente :

Mais je comprends pas l'intérêt de faire tout ça car

Comme est un entier naturel donc : en utilisant l'hypothèse de départ non ?

[mehdi_128]

Si on part de

Alors il suffit de prendre et on a directement ?

Du coup je comprends pas l'intérêt du raisonnement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite184b87fd]

Quelle est la définition de l'ordre d'un élément? quelle inégalité stricte a-t-on sur r ?

[mehdi_128]

Ah non j'ai dit une bêtise ! Le est fixé en dehors de l'équivalence.

On avait par hypothèse :

On a obtenu : Or :

Et est le plus petit entier qui vérifie ce qui est contradictoire.

Mais je vois pas ce qu'on peut conclure d'avoir obtenu une contradiction

[invite184b87fd]

L'ordre de x est un entier naturel non nul. Que conclure sur r ?

[mehdi_128]

Donc ne peut pas être strictement positif car sinon il serait plus petit que

Donc on obtient : alors forcément

Merci beaucoup pour votre aide

Pour la suite, je dois écrire un algorithme permettant de calculer l'ordre d'un nombre entier premier avec .


Je dirais il faut taper x et initialiser l'ordre à 1 , puis faire la division euclidienne de x par 29 et prendre le reste et vérifier s'il est égal à 1. Sinon on fait et on divise par 29 et on regarde le reste. Tant que le reste ne vaut pas 1 on incrémente l'ordre.

Je tente de faire l'algo mais j'ai un souci il est incomplet je n'arrive pas à intégrer le reste dans la boucle tant que pour vérifier qu'il es différent de 1.


Taper


Tant que


Fin tant que

Rendre