dénombrement conditionnel

[fouz21]

Bonjour
Je bloque sur le problème suivant:
Un récipient contient 32 boules de 4 couleurs différentes.
Pour chaque couleur il y a 4 boules paires et 4 boules impaires.
Je doit tirer 4 boules dans les conditions suivantes:
Pour le tirage de la première boule:
si je tire une boule jaune paire, je ne peux plus tirer définitivement de boule jaune impaire
si je tire une boule jaune paire, je la remets dans le sac
si je tire une boule bleue paire, je ne peux plus tirer définitivement de boule bleue impaire
si je tire une boule bleue paire, je la remets dans le sac
si je tire une boule rouge paire, je ne peux plus tirer définitivement de boule rouge impaire
si je tire une boule rouge paire, je la remets dans le sac
si je tire une boule verte paire, je ne peux plus tirer définitivement de boule verte impaire
si je tire une boule verte paire, je la remets dans le sac
Ainsi de suite jusqu'au tirage de la quatrième boule

Merci d'éclairer ma lanterne
Bien cordialement
-----

[fouz21]

La question est:
Comment poser le problème pour dénombrer le nombre de combinaisons distinctes?
Merci

[gg0]

Faire un arbre (éventuellement des sous-arbres).

Bon travail !

[Tryss2]

On peut aussi faire des cas :

- Les 4 boules tirées sont paires
- 3 boules paires, 1 boule impaire
- 2 boules paires, 2 boules impaires
- 1 boule paire, 3 boules impaires
- 4 boules impaires

Et il est plus facile de commencer par "placer" les boules impaires

[A voir en vidéo sur Futura]

[fouz21]

Merci Tryss2 et merci gg0

[ansset]

bonjour , un extrait.

Bonjour
si je tire une boule jaune paire, je ne peux plus tirer définitivement de boule jaune impaire
si je tire une boule jaune paire, je la remets dans le sac

tu es sur que c'est deux fois boule paire ?
et que la première phrase ne concerne pas une boule impaire tirée ( ce qui justifierait plus simplement que tu ne peux en tirer une seconde )
ton énoncé est peut être le bon, mais c'est pour en être sûr.
cordialement.

[invite84127968]

Bonjour,
Dés qu'une boule paire est tirée les boules de la même couleur sont bloquées dans le sac.
Au départ on a 1 chance sur 2 d'avoir une boule paire si boule impaire en 1 alors le sac diminue et au second tirage 16 chances sur 31 d'avoir une boule paire etc...
On peut considérer que si une boule paire est tirée alors toutes les boules de sa couleur deviennent paires.

[fouz21]

Bj Ansset et Liet Kynes

Je reformule le problème que j'espère plus clair:

Un récipient contient des boules de couleurs différentes
Chaque couleur contient un nombre de boules identique
Chaque couleur contient autant de boules paires que de boules impaires
On effectue x tirages avec remise
A chaque tirage, les boules paires de la couleur tirée sont éliminées du récipient si le tirage est impair et vice versa
Exemple:
on a 4 boules de 2 couleurs différentes numérotées "1" , "2" , "3" , "4"
Les boules "1" et "2" sont rouges et les boules "3" et "4" sont jaunes
On veut effectuer 3 tirages
1) Tirage N°1 On tire la boule rouge N°1 (impaire)
Conséquence: la boule rouge paire (N°2) est retirée jusqu'à la fin du jeu
On replace la boule rouge N°1 dans le récipient

2) Tirage N°2 On tire la boule jaune N°4 (paire)
Conséquence: la boule jaune impaire (N°3) est retirée jusqu'à la fin du jeu
On replace la boule jaune N°4 dans le récipient

3) Tirage N°3 On effectue le dernier tirage

Questions
Quelle est la formule de dénombrement permettant de calculer le nombre de combinaisons pour x couleurs (x étant forcément pair) de y boules (y étant forcément pair) de n tirages
Comment lister toutes les solutions?

[invite84127968]

Que le nombre total de boules soit paire ok mais le nombre de couleurs? car si tu veux généraliser ton problème, on peut déjà poser que le nombre minimum de boules est 2 pour une seule couleur.
Pour 6 boules on peut trouver 3 couleurs pour des groupes de 2 boules.
Poses tu vraiment comme condition que le nombre de couleurs est paire?

[ansset]

On effectue x tirages avec remise
A chaque tirage, les boules paires de la couleur tirée sont éliminées du récipient si le tirage est impair et vice versa

OK c'est plus clair, même si cela est différent de la première présentation.
je suppose que "retirée du jeu" signifie : mise de coté et ne faisant pas partie du tirage !?
autre question : quelle est la question posée : le nb de combinaisons diff je suppose.
-en couleur ?
-en parité ?
-les deux en même temps ?

[fouz21]

Effectivement
Il s’agit de dénombrer toutes les combinaisons distinctes en contenu (peu importe l’ordre)

[Médiat]

Bonjour,

Ma compréhension de l'énoncé (qui change régulièrement, donc je ne suis sûr de rien !)

On dispose d'un sac contenant 2n boules de n couleurs différentes, dans chaque couleur, il y a 1 paire et 1 impaire (cela ne changerait rien d'avoir 3000 paires et 3000 impaires)
On effectue k tirages de la façon suivante :
On tire une boule, on note sa couleur et sa parité, on remet cette boule dans le sac et on jette la boule de même couleur, mais de parité différente

Combien il y a-t-il de tirages différents si on ne tient pas compte de l'ordre ?



Remarque : si i > k,

C'est à dire : on choisit les couleurs, leur parité et enfin on choisit au moins 1 boule dans chacune des couleurs choisies.

Soit 188 pour n = k = 4

[ansset]

Oui, il reste que l'énoncé me semble tj incertain.
à savoir, la boule de parité diff est elle bien hors jeu ?
celle remise "dans le sac" pouvant être prise une fois sa "sœur" hors jeu.

et qu'entend on réellement par 4 ème boule ?:
uniquement le nb de tirages ou bien jusqu'à avoir 4 boules gardées ?

[fouz21]

Bonjour Media et MERCI BEAUCOUP
Je pense que c’est ça

[invite84127968]

Oui, il reste que l'énoncé me semble tj incertain.
à savoir, la boule de parité diff est elle bien hors jeu ?
celle remise "dans le sac" pouvant être prise une fois sa "sœur" hors jeu.

et qu'entend on réellement par 4 ème boule ?:
uniquement le nb de tirages ou bien jusqu'à avoir 4 boules gardées ?

Il y a remise si la couleur a déjà était tirée et il y a tirage tant que des groupes paires et impaires co-éxiste dans le sac pour une même couleur de ce que j'ai compris.

[ansset]

Il y a remise si la couleur a déjà était tirée et il y a tirage tant que des groupes paires et impaires co-éxiste dans le sac pour une même couleur de ce que j'ai compris.

pas du tout compris ça , la boule de même couleur mais de parité diff est dite hors jeu ( et donc non "tirée" ), d'où ma question sur ce point.
mais je peux me tromper, alors j’arrête les supputations.
cordialement.

[Tryss2]

Important : la solution de Médiat considère que les boules de même couleur et même parité sont identiques.

[Médiat]

Soit 188 pour n = k = 4

Oooups, c'est plutôt 192

Tryss2 a raison, c'est pourquoi j'ai considéré qu'il n'y en avait qu'une

[invite84127968]

Oooups, c'est plutôt 192

Tryss2 a raison, c'est pourquoi j'ai considéré qu'il n'y en avait qu'une

Pour voir si ma compréhension est quand même dans les clous, merci de ne pas m'expliquer si c'est faux, juste m'indiquer l'assertion fausse, j’essaie de retrouver la méthode:

Si l'énoncé disait si la boule de couleur x est paire on enlève toutes les boules paires de couleur x, cela reviendrait au même et du coup le nombre total de boules dans une couleur n'a pas d'importance ce qui est important c'est le fait qu'il y a deux sous ensembles dans une couleur considérée. Le nombre de tirages est égal au nombre de couleurs car si une couleur est tirée plus d'une fois il n'y a pas de changement.

On ne peut pas déduire que le nombre de couleur est paire à partir de l'énoncé puisque un nombre paire sur deux donne un nombre impaire lorsqu'il est divisé par 2 : "Quelle est la formule de dénombrement permettant de calculer le nombre de combinaisons pour x couleurs (x étant forcément pair) de y boules (y étant forcément pair) de n tirages "

[Médiat]

L'énoncé dit que la parité de toutes les boules d'une couleur donnée sont identiques (définie par le premier tirage de cette couleur)

[invite84127968]

On tire une boule, on note sa couleur et sa parité, on remet cette boule dans le sac et on jette la boule de même couleur, mais de parité différente

Dans ces conditions, ce qui est noté successivement est la boule tirée ayant entraîné l'élimination de sa sœur de parité différente. Le fait de jeter la boule de parité différente fait qu'une boule déjà tirée serra donc remise sans donner lieu à notation ?

Si oui pour 4 couleurs je trouve 8 façons de tirer (noter) la première boule, reste 3 groupes de couleurs avec des boules impaires et paires soit 6 façons de noter la seconde boules, puis 4 pui 2: 8*6*4*2=384 et pas 192 donc j'interprète mal la façon de noter.

[Médiat]

Non puisque la première boule tirée est remise dans le sac

[invite84127968]

Pas facile, toujours dans l'exemple avec 4 couleurs en procédant autrement j'ai le même résultat:
Je tire une boule, jette la boule de même couleur (par conséquent de parité différente).
Je remet la boule tirée et note la boule jetée, si la boule remise est retirée je ne note rien puisque je n'ai plus la boule correspondante à jeter: je ne pourrai alors jeter que parmi les 6 boules non tirées , puis parmi 4 et 2 ?

[Médiat]

Soit le nombre de configuration avec couleurs et tirages, dans un post précédent j'ai indiqué que





Mais on peut aussi écrire une relation de récurrence :


(si on ne fait aucun tirage, il n'y a qu'une configuration : le vide)


(s'il y a au moins un tirage, il n'y a aucune configuration avec 0 couleur)




Pour et





Explication : On distingue une couleur.


représente les tirages où la figure distinguée n'apparaît pas


représente les tirages où la figure distinguée apparaît une seule fois, pour cela on fait tirages avec couleur et on rajoute cette couleur au dernier tirage (paire ou impaire)


représente les tirages où la figure distinguée apparaît plusieurs fois pour cela on fait tirages avec les couleurs et on élimine les configurations où la couleur distinguée n'apparaît pas dans ces tirages (elle apparaît donc au moins une fois, la parité est donc décidée) et au dernier tirage on choisit cette couleur avec la bonne parité.

[invite84127968]

Je vais tenter de comprendre, merci pour les indications.

[Médiat]

J'ai écrit plusieurs fois "figure distinguée" au lieu de "couleur distinguée" (et j'ignore pourquoi)

[fouz21]

Bonsoir et merci à tous pour vos cogitations !!!

@Liet Kynes : L'assertion qui est inexacte dans la reformulation du pb est : "Le nombre de tirages est égal au nombre de couleurs car si une couleur est tirée plus d'une fois il n'y a pas de changement".

Dans le jeu, je peux avoir 2 couleurs et faire plus de 2 tirages avec remise.

@Mediat : je crois que c'est la bonne solution. Je vais m'employer à faire un arbre à la main pour vérifier qu'il y a bien 192 possibilités et adopter la formule.

Merci pour ces réflexions et l'aide apportée....

C'est toujours compliqué quand on est novice en dénombrement. Une aide de cerveaux plus entrainés est salutaire !!!

[invite84127968]

J'ai écrit plusieurs fois "figure distinguée" au lieu de "couleur distinguée" (et j'ignore pourquoi)

Peut-être lié au fait que le mot figure est une partie du mot configuration?

[Médiat]

Bonjour

Je vais m'employer à faire un arbre à la main pour vérifier qu'il y a bien 192 possibilités et adopter la formule.

Je ne sais pas comment vous voulez écrire votre arbre mais avec 192 feuilles se serait inutilement compliqué, alors qu'un arbre à 5 feuilles suffit

[Médiat]

On peut présenter les choses autrement : pour couleurs on se place dans , et pour tirages on considère les vecteurs tels que



Dans le cas , on retrouve le nombre de points à une distance donnée à Manhattan, et pour on peut inclure l'étage.