Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 14 sur 14

Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k



  1. #1
    zedrummer

    Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k


    ------

    Bonjour
    Il y a quelques temps je postais sur mes débuts de luthier amateur dans le monde du quatuor. Pour cette activité, j'ai développé un programme en C à qui je fournis une image du contour d'un violon et qui doit me produire des courbes de niveaux pour la sculpture de la voûte de la table et du fond.
    Grâce à votre aide, j'avais réussi à ce que ce programme marche et j'ai depuis réalisé un violoncelle puis un violon:

    img_2066.jpg

    img_2076.jpg

    Maintenant, souhaitant améliorer encore le programme, j'ai appris depuis que si l'on veut modéliser la voûte de manière mathématique, il faut utiliser des trochoïdes raccourcies.
    Je suis donc avec ces formules (avec t dans [0;1]):

    x=LongueurVoute*(t-sin(PI*t)/(2*PI))
    y=HauteurVoute/2*(1-cos(PI*t))

    Le truc, c'est que pour produire mon image finale avec les courbes de niveaux, je suis obligé de remplir chaque pixel dans le plan XZ avec des valeurs/couleurs dépendant de la hauteur Y.
    Je suis donc obligé de savoir le plus précisément possible pour tel x quelle est la valeur de t correspondante et là je sèche:
    Est-ce possible et, si oui, comment résoudre une équation de type a*t-b*sin(PI*t)=k où a, b et k sont des constantes, SVP?
    Pour l'instant je fais par tâtonnement sur la valeur de t, mais forcément niveau efficacité et précision, ce n'est pas fameux.

    Merci
    David

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    Bonjour.

    Si tu connais a, b et k, il y a des méthodes élémentaires de résolution approchée. Résolution approchée parce qu'il n'y a pas de calcul algébrique pour donner les solutions. Scilab peut te faire cela facilement, ou Xcas, mais ces deux logiciels gratuits nécessitent un apprentissage. Sinon, une simple calculette graphique (ou logiciel traceur de courbe) te permet de représenter a*t-b*sin(PI*t) sur [0;1], puis faire des zooms successifs sur la zone où ça vaut à peu près k. On obtient facilement et rapidement la valeur approchée de t à 4 ou 5 chiffres significatifs exacts.

    Cordialement.

  3. #3
    jacknicklaus

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    Bonjour,

    deux exemples de méthodes de résolution numériques bien connues. Faire des essais dans ton cas précis pour voir la plus efficace.

    https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A..._de_dichotomie

    https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  4. #4
    zedrummer

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    Hello gg0 et merci de ta réponse

    En fait, le but est d'intégrer le calcul à mon programme et il fait déjà une résolution approchée, mais ça rend le programme relativement lent, forcément. Ma méthode pour l'instant est de calculer x avec t sur des intervalles les plus petits possibles. Je pourrais rajouter le fait de faire ensuite des pas encore plus petits à l'intérieur de l'intervalle précédent, mais là ça va devenir l'enfer.

    Une amélioration serait sans doute de déjà remplir un bloc mémoire avec des valeurs pré-calculées sur les premiers intervalles, puis de calculer sur les intervalles plus petits, mais ma question était bien "est-ce qu'il est possible de résoudre cette équation?". Donc non.

    Merci encore d'avoir pris le temps de répondre
    Cordialement
    David

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    zedrummer

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    Hello jacknicklaus et merci de ta réponse
    Du coup, j'étais effectivement parti sur la dichotomie, mais je ne connaissais pas la méthode de Newton, je vais regarder ça.
    Merci encore
    Cordialement
    David

  7. #6
    Black Jack 2

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    Bonjour,

    Si tu veux aller très vite ... et que tu disposes de places en mémoire.

    Tout dépend évidemment de ce que tu entends par "le plus précisément possible pour tel x quelle est la valeur de t correspondante"

    Tu fais un tableau (précalculé) en mémoire avec (t-sin(PI*t)/(2*PI)) en entrée (adresse) et t en sortie (valeur contenue dans la position de mémoire)

    (t-sin(PI*t)/(2*PI)) varie dans [0 ; 1].
    Si tu fais un tableau de 1000 places (par exemple), tu calcules (x/longueur de voûte) et tu vas chercher dans le tableau le [ent(1000 * (x/longueur de voute))] item ... qui te sort la valeur du t correspondante.

    Voir si la précision est suffisante ... sinon adapter la quantité de cases mémoires pour le tableau.

  8. #7
    zedrummer

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    Hello Black Jack 2
    Merci de ta réponse qui effectivement va me faire gagner du temps, je ne l'avais pas pensé ainsi, surtout que je peux aller bien au delà de 1000 places qui même si c'est du type "double" ferait moins de 8ko. Je pourrais sans problème allouer 1000 fois plus et avec 1 million de valeur, je serais sans doute assez précis, même pour des images de 5000 pixels.
    Merci beaucoup à vous tous

  9. #8
    obi76

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    Bonjour,

    Citation Envoyé par zedrummer Voir le message
    En fait, le but est d'intégrer le calcul à mon programme et il fait déjà une résolution approchée, mais ça rend le programme relativement lent, forcément.
    Si c'est correctement codé (et en C), ça peut être extrêmement rapide, c'est le genre de problème que j'ai déjà eu et en un temps raisonnable avec une (excellente) résolution, ça se fait

    Après vous pouvez faire une méthode mixte : vous avez un tableau pour pré-encadrer la valeur que vous cherchez, puis vous faites quelques itérations (Newton ou dichotomie) pour converger à la précision voulue sur la valeur que vous voulez
    Dernière modification par obi76 ; 04/09/2020 à 10h54.
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  10. #9
    Tryss2

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    Sachant qu'avec la méthode de Newton, la précision double à chaque itération, en général, il ne suffit que 4-5 itérations (voir moins) pour avoir une précision acceptable.



    Par exemple, pour a = 27.34, b = 12.78, k=5, les premières itérations sont :

    = 0
    = 0.074085539
    = 0.074488849
    = 0.074488885

    Et on est déjà à 8 décimales correctes en 3 calculs simples (si t est en mètres, la précision est de l'ordre de la dizaine de nanomètres... soit la taille de quelques atomes)
    Dernière modification par Tryss2 ; 04/09/2020 à 12h52.

  11. #10
    zedrummer

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    Merci à vous 2, effectivement, la définition est largement suffisante, on est plus de l'ordre du millimètre que du mètre, donc...

  12. #11
    zedrummer

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    J'ai un souci: la méthode de Tryss2 marche très bien sauf quand on commence à se rapprocher des grandes valeurs!
    Avec ma formule
    x=LongueurVoute*(t-sin(PI*t)/(2*PI))
    Si je lance 4 itérations pour LongueurVoute=800 (en pixels), jusqu'à x=650 c'est très correcte, il me rend le bon t (si je recalcule avec la fonction ci-dessus, je suis très proche du x donné), par contre au delà, ça part complètement en couille, la valeur devient complètement fausse et le x s'effondre revenant vers 0. En augmentant le nombre d'itérations, ça a l'air de s'améliorer, mais quoi qu'il arrive, ça finit par faire n'importe quoi quand on se rapproche de 800.

  13. #12
    Tryss2

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    Du coup, part plutôt de , tu va éviter le problème

  14. #13
    Tryss2

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    En fait, ce qu'il se passe ici, c'est qu'en partant de 0, la méthode de Newton fait presque un cycle dans ce cas (voir un véritable cycle si x = Longueur voute).

    Si on veut résoudre f(t) = 0.5 en partant de t=0, la représentation graphique de la méthode de Newton ressemble à ça :
    NewtonGood.png

    On voit que l'on arrive très vite proche de la solution.

    Par contre, si on veut résoudre f(t) = 0.99 en partant de t=0, ça ressemble à ça :
    NewtonBad.png

    Les valeurs vont osciller entre des nombres très proches de 0 et très proches de 2 pendant un moment...

    En partant de 1, on n'a pas ce problème si on veut résoudre f(t) = k pour k entre 0 et 1

  15. #14
    zedrummer

    Re : Résoudre une équation en a*t-b*sin(PI*t)=k

    Ah d'accord, je comprends, du coup là effectivement, ça marche au poil, merci infiniment!

    Nom : dessin15.jpg
Affichages : 91
Taille : 68,8 Ko

Discussions similaires

  1. Résoudre une équation sin(1+-k)
    Par invite15108741 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 29/10/2012, 16h40
  2. équation a résoudre
    Par Ana_20 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 27/10/2012, 12h10
  3. Résoudre équation
    Par invitebdb94f41 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 12
    Dernier message: 26/10/2011, 19h03
  4. Résoudre une équation
    Par Folle dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 13
    Dernier message: 01/02/2009, 16h28
  5. Résoudre équation
    Par fefe28100 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 4
    Dernier message: 29/11/2008, 19h14