Bonjour,
Depuis quelques jours, je bataille avec un problème :
On introduit une relation d'équivalencesur
telle que
ssi on peut obtenir
à partir d'opérations qui ne changent pas les positions relatives des coefficients de
.
Exemples :
et
sont équivalentes selon R car on obtient B en faisant une rotation de -pi/2 (selon l'axe y) de A
et
sont équivalentes selon R car on obtient B en faisant une rotation de pi (selon l'axe z) de A
et
sont équivalentes selon R car on obtient B en faisant une rotation de pi (selon l'axe x) de A
et
sont équivalentes selon R car on obtient B par transposée de A
Dans tous ces exemples, on voit que la "distance" entre a_{11} et a_{22} est toujours préservée (et ce pour tous les couples (a_{ij}, a_{kl}))
Finalement, on montre que, et ce quel que soit, toute matrice A de
est equivalentes selon
à 7 autres matrices.
On considère alors le groupe des permutationsqui agit sur les coefficients des matrices de Mn(K).
Ainsi, siest une matrice de
, on considère
l'ensemble des permutations de
telles que pour
, on ait
.
Soit A une matrice de Mn(K) et. Combien faut-il de transpositions maximum pour passer de
à une permutation de
, c'est-à-dire quel est le
maximum tel que :
des transpositions, t.q
,
Voilà ma question. Ca revient à se demander s'il est possible de définir une espèce de "distance" (qui compte le nombre de transpositions nécessaires pour passer de sigma_1 à sigma_2) dans le groupe symétrique.
En fait je viens vers vous parce que je sais pas du tout comment commencer ça. Si vous avez la réponse, ou des suggestions, n'hésitez pas à les partager, ça m'aiderait beaucoup !
Merci d'avance !
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