Bonjour,

Depuis quelques jours, je bataille avec un problème :


On introduit une relation d'équivalence sur telle que ssi on peut obtenir à partir d'opérations qui ne changent pas les positions relatives des coefficients de .

Exemples :
et sont équivalentes selon R car on obtient B en faisant une rotation de -pi/2 (selon l'axe y) de A

et sont équivalentes selon R car on obtient B en faisant une rotation de pi (selon l'axe z) de A

et sont équivalentes selon R car on obtient B en faisant une rotation de pi (selon l'axe x) de A

et sont équivalentes selon R car on obtient B par transposée de A


Dans tous ces exemples, on voit que la "distance" entre a_{11} et a_{22} est toujours préservée (et ce pour tous les couples (a_{ij}, a_{kl}))


Finalement, on montre que, et ce quel que soit , toute matrice A de est equivalentes selon à 7 autres matrices.

On considère alors le groupe des permutations qui agit sur les coefficients des matrices de Mn(K).

Ainsi, si est une matrice de , on considère l'ensemble des permutations de telles que pour , on ait .

Soit A une matrice de Mn(K) et . Combien faut-il de transpositions maximum pour passer de à une permutation de , c'est-à-dire quel est le maximum tel que :


des transpositions, t.q ,


Voilà ma question. Ca revient à se demander s'il est possible de définir une espèce de "distance" (qui compte le nombre de transpositions nécessaires pour passer de sigma_1 à sigma_2) dans le groupe symétrique.

En fait je viens vers vous parce que je sais pas du tout comment commencer ça. Si vous avez la réponse, ou des suggestions, n'hésitez pas à les partager, ça m'aiderait beaucoup !

Merci d'avance !