Geodesiques

[Sax Russel]

Bonjour,
Lorsque je cherche la définition d’une géodésique, je trouve: généralisation de la ligne droite, y compris sur une surface courbée; et: chemin le plus court, également y compris sur une surface courbée.
Et c’est là qu’il y a quelque chose qui me pose pb: sur une surface bosselée, si on va tout droit, c’est à dire si on ne change pas de direction, et qu’on se trouve devant un trou plus profond que large, par exemple, on va franchir ce trou, et on n’empruntera pas le chemin le plus court. En revanche, si on veut prendre le chemin le plus court, on devra contourner ce trou, et donc changer de direction...
Quelle est donc la bonne définition? (En langage courant, svp, sans termes techniques ni formules, je ne suis pas mathématicien...)
Merci!
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[Médiat]

Bonjour

chemin le plus court, également y compris sur une surface courbe.

La voilà, et cela peut être très "tordu"

[Sax Russel]

Ok, merci.

[gg0]

En fait, c'est plus vicieux, c'est "chemin localement le plus court" qu'il faut prendre comme définition.
Sur une sphère, les géodésiques sont les "grands cercles" (*) et les arcs de grands cercles. Mais pour 2 points, il y a deux arcs de grands cercles qui les joignent. Généralement, l'un n'est pas "le plus court chemin" d'un point à l'autre.

Cordialement.

(*) cercles de centre le centre de la sphère, tracés sur la sphère.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Quelle est donc la bonne définition? (En langage courant, svp, sans termes techniques ni formules, je ne suis pas mathématicien...)
Merci!

Nope
Imagine qu'un enfant joue dans un bas à sables et fait des bosses, patés, monticules etc...
plante deux drapeaux éloignés et une ficelle ( pour matérialiser un chemin). que tu attache à un drapeaux et que tu déposer sur le sable jusqu'à un autre drapeau.
La géodésique reliant les deux drapeaux est le chemin ( la longueur de ta corde)le plus court du bac à sable.
………..
Je pense que cela doit te parler

[Sax Russel]

C’est effectivement très clair. Cela contredit donc ce que j’avais pu lire par ailleurs, à savoir l’idée du prolongement d’une direction.

[mach3]

Cela contredit donc ce que j’avais pu lire par ailleurs, à savoir l’idée du prolongement d’une direction.

Si on comprend "prolongement d'une direction" comme le fait que le vecteur tangent d'une geodesique reste invariant quand transporté parallèlement à lui même (), alors non, cela ne contredit pas.

En fait parler de chemin extremal (parce que selon les cas il peut s'agir de plus long ou de plus court chemin, et bien souvent il s'agit de "points" selle) pour une geodesique suppose qu'il y a une métrique, ce qui n'est pas forcément le cas.

Au minimum, une variété possède des geodesiques si on y a defini une connexion. Les geodesiques sont alors telles que (la dérivée covariante d'un vecteur tangent le long de lui-même est nulle).
Le choix de cette connexion est libre a priori, sauf si il y a une métrique : il y a une exigence de compatibilité et la connexion doit etre celle de Levi-Civita. En effet, il faut que dans des coordonnées normales au voisinage d'un point (où la métrique est alors diagonale avec que des 1 et éventuellement des -1 si pseudo-métrique), les geodesiques aient des équations de droites, et donc que coefficients de Cristofell qui décrivent la connexion dans ces coordonnées normales soient nuls.
On montre alors qu'une geodesique extremalise les longueurs (ou les durées si on parle de RG).

On peut lire à ce propos le chapitre 13 de Gravitation de Misner Thorne et Wheeler, ainsi que quelques chapitres précédents.

m@ch3

[gg0]

Bonjour Sax Russel.

Il y a bien une généralisation de le notion de droite, mais pas dans le sens de "aller tout droit". D'ailleurs, s'il y a un mur, aller tout droit est une mauvaise idée.
Tous les boulistes savent que sur un terrain plat et horizontal, les boules qu'on fait rouler (sans effet) vont tout droit. Elles suivent une géodésique, la droite. Mais les amateurs de pétanque savent aussi que sur un terrain bosselé les boules ne vont pas droit : elles prennent le plus court chemin (pour elles), une géodésique. C'est dans ce sens que la géodésique généralise la droite.

Cordiualement.

[Sax Russel]

Merci à tous
Je vais essayer de potasser les notions de métrique et de coefficients de Cristofell...