Géodésiques

[Antoniuum]

BOnjour !

Je me posais la question suivante :

Dans l'équation des géodésiques en relativité générale, j'ai remarqué la chose suivante :
Le premier terme correspond à l'accélération et sa norme est nulle en relativité non ? Donc il en devrait rester que le deuxième terme mais encore ici il est composé du symbole de Christoffel et de deux facteurs qui sont les dérivées des quadrivecteurs positions par rapport au temps propre ( ou à l'abscisse curviligne... ), et ainsi on obtient enfaite les quadrivecteurs vitesse et leurs normes est une constante !

Donc au final, on a le symbole de Christoffel fois la célérité au carré qui est égale à zero non ?

Cette dernière égalité me parait bizarre...
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[Amanuensis]

Le premier terme correspond à l'accélération et sa norme est nulle en relativité non ?

?? Confusion entre la dérivée de la norme et la norme de la dérivée?

[Antoniuum]

AH bah oui... Mais alors pour le deuxième terme, ma remarque tiens toujours non ?

Ce qui peut porter à confusion en relativité c'est l'écriture indicielle des quadrivecteurs ! il n'y a pas de différence entre le vecteur et sa composante

[Amanuensis]

Continuons alors:

mais encore ici il est composé du symbole de Christoffel et de deux facteurs qui sont les dérivées des quadrivecteurs positions

Il n'y a pas de "quadrivecteur position". Et la distinction est fondamentale: la dérivée covariante d'une ligne paramétrée est directement celle des coordonnées, alors que la dérivée covariante d'une fonction à valeur dans les quadrivecteurs (dans le fibré tangent) est différente de la dérivée des coordonnées.

on obtient enfaite les quadrivecteurs vitesse et leurs normes est une constante !

Certes, mais les deux qv ne sont pas "scalairement multipliés", ils sont contractés indépendamment l'un de l'autre avec le symbole de Christofell.

Donc au final, on a le symbole de Christoffel fois la célérité au carré

Non.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Ce qui peut porter à confusion en relativité c'est l'écriture indicielle des quadrivecteurs ! il n'y a pas de différence entre le vecteur et sa composante

C'est plus subtil que ça. Des fois une lettre indicée représente un quadrivecteur (un élément d'une base par exemple), des fois les indices indiquent une contraction, des fois un indice distinguent des équations...

Dans le cas de l'équation de géodésique , on peut tout interpréter comme des composantes. indice les n équations, et et indiquent des contractions.

(Et sont les coordonnées d'un point de la ligne paramétrée par t, et non pas celles d'un quadrivecteur.)

(Et la norme carrée de la vitesse serait ou )

[Antoniuum]

D'accord merci pour ces précisions, des fois avec ces indices je me perds un peu...

Par contre si on multiplie par le tenseur métrique covariant pour faire apparaitre la norme au carrée de la vitesse, on aurait bien dans le deuxième terme , le symbole de christoffel fois c^2 ?

[Amanuensis]

Non, ce n'est pas juste une question de multiplication. Faut aussi s'occuper des contractions. Dans l'équation on ne peut pas changer la contraction par le christofell par la contraction par la métrique.