Intégrale de Lebesgue: IPP et dérivation

[Alex1504]

Bonjour,
Dans mon cours sur l'intégrale de Lebesgue, il y a deux théorèmes «*admis*» dont la démonstration n’a pourtant pas l’air infaisable:
-l’intégration par parties sur un segment d’un produit de fonctions intégrables sur ce segment pour la mesure de Lebesgue
-La dérivée de l’intégrale de Lebesgue fonction de sa borne haute d’une fonction f à valeurs dans R localement intégrable (cette dérivée existe presque partout et vaut f presque partout)
Mais voilà, j’ai beau avoir pas mal réfléchi à ces deux énoncés, je ne vois pas comment les démontrer.
Connaîtriez-vous une démo de chacun de ces théorèmes svp?
-----

[Alex1504]

Pas de réponse... est-ce que ma question est trop «*ennuyeuse*» (au sens demande trop de boulot) pour que je la pose ici? (Je demande pour ne pas répéter cette erreur dans de futurs posts)

[invite23cdddab]

Pour ta deuxième question, je suppose que la démo n'est pas faite pour éviter d'avoir à parler de point de Lebesgue .

Ton résultat est alors un corollaire de ce théorème : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...on_de_Lebesgue

Pour la première question, c'est un corollaire immédiat du théorème fondamental de l'analyse (il suffit de calculer de deux façons l'intégrale de (uv)' ), mais ce théorème est un peu pénible à démontrer pour l'intégrale de Lebesgue.

Tout ça est fait dans le Rudin, si tu es motivé

[Alex1504]

Merci beaucoup! J’ai juste une remarque sur la démo du premier théorème:
La formule de dérivée d’une intégrale comme définie dans l’article Wikipedia donne pour R comme espace de départ et F intégrale fonction de la borne haute de f qui est une fonction intégrable:
(F(a+h)-F(a-h))/2h->f(a) pour h->0
Or je m'intéresse dans mon cours à
(F(a+h)-F(a))/h pour h->0
Ces deux expressions sont égales si F dérivable en a. Mais on peut avoir F non dérivable en a et la première expression qui converge (valeur absolue en 0). Bref, le théorème présenté sur Wikipedia n’a pas l’air d’assurer la dérivabilité presque partout mais seulement l’égalité entre F’ et f presque partout si F’ est définie presque partout.
Mais ce n’est pas très grave: je me rends compte que ces résultats sont bien plus complexes que je l’imaginais... je garde pour plus tard leur démo (et merci pour la référence du livre)
Au revoir

[A voir en vidéo sur Futura]