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Pseudo triplets pythagoriciens



  1. #1
    rokoko

    Pseudo triplets pythagoriciens


    ------

    Bonjour,

    assez fascinants ces triplets pythagoriciens et la recherche de la démonstration est assez amusante.

    Tout aussi fascinants sont les triplets "proches de réussir", mais plus difficile d'en trouver la formule...

    Je cherche les entiers a, b et c tels que :



    Un petit exemple pour vous mettre en bouche :




    Merci pour votre aide.

    -----

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  3. #2
    Opabinia

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    Bonjour,

    Les exemples de l'espèce considérée abondent.

    Ci-dessous deux listes de triplets vérifiant (a <= b), établies à somme (s = a + b) croissante, au plus égale à 300
    et correspondant aux différences d = a2 + b2 - c2 = 5 puis 6 :


    Je n'ai pas bien saisi la finalité de cette recherche.

  4. #3
    rokoko

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    Bonsoir,

    merci pour ce retour.

    La solution de a² + b² – c² = d avec d=0 a été trouvée depuis des siècles : a = p² – q² ; b = 2pq ; c = p² + q²

    Pourtant les mathématiciens ont continué d'y travailler. Il ne me semble pas qu'ils aient essayé, si ce n'est de généraliser pour tout d, au moins de s'attaquer à un cas où d est différent de 0.

    Je pense que ce problème est source de créativité. Si j'arrive à trouver une formule générale pour d=5, je serais déjà content.

    J'ai essayé différentes approches sans résultat. Il semble qu'il y ait une infinité de solutions. En l'absence de formule, ces solutions paraissent pour l'instant aléatoires.

  5. #4
    Opabinia

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    Ci-dessous les doublets présents sur le domaine [0 ; 700]2, pour d = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .

    Toutefois les couleurs (rouge, jaune, vert, cyan, bleu, blanc) se distinguent mal.


  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Opabinia

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    J'ai repris le tracé des points restreints à l'unique cas d = 5.

    Il n'apparaît en effet rien de simple dans l'arrangement général des points.


  8. #6
    azizovsky

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    j'ai regardé du coté d'un https://mathcurve.com/surfaces/hyper...rboloid1.shtml

    (*)

    avec

    mais rien de claire, car pour le triplets pythagoriciens, on a fait la transformation



    et on le voit dans les coordonnées cylindriques paraboliques https://mathcurve.com/surfaces/tripl...leorthog.shtml

    mais pour (*) , quelle transformation s'il y'en a ???

    on'a d'après mathcurve

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  10. #7
    rokoko

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    Très joli. Plus de cas pour les nombres pairs, c'est sans doute logique.
    Si je peux me permettre, quel logiciel pour le tableau et le graphique ?

  11. #8
    rokoko

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    Difficile de visualiser un quelconque représentation d'un formule. Un peu vide sidéral...

  12. #9
    rokoko

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    Merci pour la piste. Je vais prendre le temps d'explorer.

  13. #10
    rokoko

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    J'ai trouvé une formule, mais qui ne donne pas tous les cas :
    a = p + q + 3
    b tel que b² = -2 (p + q)
    c = p + q + 2

    C'est un début.

  14. #11
    rokoko

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    Citation Envoyé par Opabinia Voir le message
    Ci-dessous les doublets présents sur le domaine [0 ; 700]2, pour d = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .

    Toutefois les couleurs (rouge, jaune, vert, cyan, bleu, blanc) se distinguent mal.

    Très joli. Plus de cas pour les nombres pairs, c'est sans doute logique.
    Si je peux me permettre, quel logiciel pour le tableau et le graphique ?

  15. #12
    rokoko

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    Citation Envoyé par azizovsky Voir le message
    j'ai regardé du coté d'un https://mathcurve.com/surfaces/hyper...rboloid1.shtml

    (*)

    avec

    mais rien de claire, car pour le triplets pythagoriciens, on a fait la transformation



    et on le voit dans les coordonnées cylindriques paraboliques https://mathcurve.com/surfaces/tripl...leorthog.shtml

    mais pour (*) , quelle transformation s'il y'en a ???

    on'a d'après mathcurve
    Merci pour la piste. Je vais prendre le temps d'explorer.

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  17. #13
    rokoko

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    Citation Envoyé par Opabinia Voir le message
    J'ai repris le tracé des points restreints à l'unique cas d = 5.

    Il n'apparaît en effet rien de simple dans l'arrangement général des points.

    Difficile de visualiser un quelconque représentation d'un formule. Un peu vide sidéral...

    (Désolé, je n'avais pas répondu avec citation. Chose désormais réparée)

  18. #14
    Opabinia

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    Si je peux me permettre, quel logiciel pour le tableau et le graphique ?
    L'énumération des triplets, la synthèse des images Bitmap ont été réalisées en Pascal, par deux programmes sources rédigés à cette occasion.

    Le premier programme est relativement simple; les éléments du triplet sont identifiés par (Na, Nb, Nc);
    l'écart caractérisant la suite (a2 + b2 - c2) est introduit sous forme de constante Kabc et recalculé ensuite pour vérification; il s'agit alors de l'entier Delta.
    Un réel (d) en principe nul, correspondant à l'écart séparant une racine carrée de son arrondi entier:
    r:= Sqrt(Nc2); Nc:= Round(r); d:= Abs(r - Nc);
    est aussi affiché pour vérification en dernière colonne (en gris); il ne figure pas sur les images postées.

    E_Texte désigne une unité contenant des procédures de confort, contenant
    - A_ : pause / arrêt du programme;
    - Wt(x, y, '***') : écriture d'une chaîne de caractère à partie de la case de coordonnées d'écran (x, y);
    - We(x, y, Nentier, Format) : écriture d'un entier.

    La première ligne ('k s a b c d') se réfère aux notations employées dans la discussion.
    Code:
     PROGRAM XXX;
    
     USES Crt, E_Texte;
    
     CONST Kabc = 5;
    
     PROCEDURE Aff_0;
       BEGIN
         E(0015); Wt(4, 2, 'k     s     a     b     c     d')
       END;
    
     PROCEDURE Enumeration;
       CONST Smax = 150; o = 6;
       VAR k: Byte; CodeC: Word;
           Alim, Delta, Na, Na2, Nb, Nb2, Nc, Nc2, Sab, Sm: Z_32; d, r: Reel;
       BEGIN
         k:= 0; Sm:= 0; CodeC:= 11;
         FOR Sab:= 1 TO Smax DO
           BEGIN
             Alim:= Sab DIV 2;
             FOR Na:= 0 TO Alim DO
               BEGIN
                 Nb:= Sab - Na;   Na2:= Sqr(Na); Nb2:= Sqr(Nb);
                 Nc2:= Na2 + Nb2; Dec(Nc2, Kabc);
                 IF (Nc2>0) THEN
                   BEGIN
                     r:= Sqrt(Nc2); Nc:= Round(r); d:= Abs(r - Nc);
                     IF (d<1E-10) THEN
                       BEGIN
                         Inc(k);   Delta:= Na2 + Nb2; Dec(Delta, Sqr(Nc));
                         E(0012);  We(2, k + 4, k, 3);
                         IF (Sab>Sm) THEN CodeC:= 24 - CodeC; Sm:= Sab;
                         E(CodeC); Write(Sab:o);
                         E(0010);  Write(Na:o, Nb:o, Nc:o);
                         E(0009);  Write(Delta:o);
                         E(0007);  Write(d:15:10)
                       END
                   END
               END
           END;
         A_
       END;
    
     BEGIN
       Aff_0; Enumeration
     END.

  19. #15
    rokoko

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    Citation Envoyé par Opabinia Voir le message
    L'énumération des triplets, la synthèse des images Bitmap ont été réalisées en Pascal, par deux programmes sources rédigés à cette occasion.

    Le premier programme est relativement simple; les éléments du triplet sont identifiés par (Na, Nb, Nc);
    l'écart caractérisant la suite (a2 + b2 - c2) est introduit sous forme de constante Kabc et recalculé ensuite pour vérification; il s'agit alors de l'entier Delta.
    Un réel (d) en principe nul, correspondant à l'écart séparant une racine carrée de son arrondi entier:
    r:= Sqrt(Nc2); Nc:= Round(r); d:= Abs(r - Nc);
    est aussi affiché pour vérification en dernière colonne (en gris); il ne figure pas sur les images postées.

    E_Texte désigne une unité contenant des procédures de confort, contenant
    - A_ : pause / arrêt du programme;
    - Wt(x, y, '***') : écriture d'une chaîne de caractère à partie de la case de coordonnées d'écran (x, y);
    - We(x, y, Nentier, Format) : écriture d'un entier.

    La première ligne ('k s a b c d') se réfère aux notations employées dans la discussion.
    Code:
     PROGRAM XXX;
    
     USES Crt, E_Texte;
    
     CONST Kabc = 5;
    
     PROCEDURE Aff_0;
       BEGIN
         E(0015); Wt(4, 2, 'k     s     a     b     c     d')
       END;
    
     PROCEDURE Enumeration;
       CONST Smax = 150; o = 6;
       VAR k: Byte; CodeC: Word;
           Alim, Delta, Na, Na2, Nb, Nb2, Nc, Nc2, Sab, Sm: Z_32; d, r: Reel;
       BEGIN
         k:= 0; Sm:= 0; CodeC:= 11;
         FOR Sab:= 1 TO Smax DO
           BEGIN
             Alim:= Sab DIV 2;
             FOR Na:= 0 TO Alim DO
               BEGIN
                 Nb:= Sab - Na;   Na2:= Sqr(Na); Nb2:= Sqr(Nb);
                 Nc2:= Na2 + Nb2; Dec(Nc2, Kabc);
                 IF (Nc2>0) THEN
                   BEGIN
                     r:= Sqrt(Nc2); Nc:= Round(r); d:= Abs(r - Nc);
                     IF (d<1E-10) THEN
                       BEGIN
                         Inc(k);   Delta:= Na2 + Nb2; Dec(Delta, Sqr(Nc));
                         E(0012);  We(2, k + 4, k, 3);
                         IF (Sab>Sm) THEN CodeC:= 24 - CodeC; Sm:= Sab;
                         E(CodeC); Write(Sab:o);
                         E(0010);  Write(Na:o, Nb:o, Nc:o);
                         E(0009);  Write(Delta:o);
                         E(0007);  Write(d:15:10)
                       END
                   END
               END
           END;
         A_
       END;
    
     BEGIN
       Aff_0; Enumeration
     END.
    Bravo. J'ai fait du Pascal il y a bien longtemps et je n'avais pas en mémoire la puissance de cet outil. Il va falloir que je m'y intéresse.

    Je ne voudrais pas abuser mais je serais curieux de voir comment se répartissent (par rapport aux autres) les solutions du type :
    a = p + q - 3
    b tel que b² = 2 (p + q)
    c = p + q - 2

    (équations toilettées pour rester avec des entiers naturels)

    Ca vous paraît jouable ?

  20. #16
    Opabinia

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    ... je serais curieux de voir comment se répartissent (par rapport aux autres) les solutions du type :
    a = p + q - 3
    b tel que b² = 2 (p + q)
    c = p + q - 2
    Cela revient à écrire:
    c = a + 1
    b2 = 2(a + 3)

    d'où: c2 - a2 - b2 = 2a + 1 - 2a - 6= -5 ;
    ces points appartient donc bien à l'ensemble précédent.

    La paramétrisation est cependant défectueuse , parce qu'elle se réduit à la somme s = p + q , donc à un seul terme;
    les points correspondants sont situés sur la parabole d'équation b2 = 2(a + 3) .
    De plus, (b) est nécessairement pair, puisque son carré l'est aussi.

  21. #17
    rokoko

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    En effet, j'avais une écriture bien compliquée pour ce cas particulier.

  22. #18
    azizovsky

    Re : Pseudo triplets pythagoriciens

    On a :


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