Pseudo triplets pythagoriciens

[rokoko]

Bonjour,

assez fascinants ces triplets pythagoriciens et la recherche de la démonstration est assez amusante.

Tout aussi fascinants sont les triplets "proches de réussir", mais plus difficile d'en trouver la formule...

Je cherche les entiers a, b et c tels que :



Un petit exemple pour vous mettre en bouche :




Merci pour votre aide.
-----

[Opabinia]

Bonjour,

Les exemples de l'espèce considérée abondent.

Ci-dessous deux listes de triplets vérifiant (a <= b), établies à somme (s = a + b) croissante, au plus égale à 300
et correspondant aux différences d = a² + b² - c² = 5 puis 6 :

Je n'ai pas bien saisi la finalité de cette recherche.

[rokoko]

Bonsoir,

merci pour ce retour.

La solution de a² + b² – c² = d avec d=0 a été trouvée depuis des siècles : a = p² – q² ; b = 2pq ; c = p² + q²

Pourtant les mathématiciens ont continué d'y travailler. Il ne me semble pas qu'ils aient essayé, si ce n'est de généraliser pour tout d, au moins de s'attaquer à un cas où d est différent de 0.

Je pense que ce problème est source de créativité. Si j'arrive à trouver une formule générale pour d=5, je serais déjà content.

J'ai essayé différentes approches sans résultat. Il semble qu'il y ait une infinité de solutions. En l'absence de formule, ces solutions paraissent pour l'instant aléatoires.

[Opabinia]

Ci-dessous les doublets présents sur le domaine [0 ; 700]², pour d = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .

Toutefois les couleurs (rouge, jaune, vert, cyan, bleu, blanc) se distinguent mal.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Opabinia]

J'ai repris le tracé des points restreints à l'unique cas d = 5.

Il n'apparaît en effet rien de simple dans l'arrangement général des points.

[azizovsky]

j'ai regardé du coté d'un https://mathcurve.com/surfaces/hyper...rboloid1.shtml

(*)

avec

mais rien de claire, car pour le triplets pythagoriciens, on a fait la transformation



et on le voit dans les coordonnées cylindriques paraboliques https://mathcurve.com/surfaces/tripl...leorthog.shtml

mais pour (*) , quelle transformation s'il y'en a ???

on'a d'après mathcurve

[rokoko]

Très joli. Plus de cas pour les nombres pairs, c'est sans doute logique.
Si je peux me permettre, quel logiciel pour le tableau et le graphique ?

[rokoko]

Difficile de visualiser un quelconque représentation d'un formule. Un peu vide sidéral...

[rokoko]

Merci pour la piste. Je vais prendre le temps d'explorer.

[rokoko]

J'ai trouvé une formule, mais qui ne donne pas tous les cas :
a = p + q + 3
b tel que b² = -2 (p + q)
c = p + q + 2

C'est un début.

[rokoko]

Ci-dessous les doublets présents sur le domaine [0 ; 700]², pour d = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .

Toutefois les couleurs (rouge, jaune, vert, cyan, bleu, blanc) se distinguent mal.

Pièce jointe 423114

Très joli. Plus de cas pour les nombres pairs, c'est sans doute logique.
Si je peux me permettre, quel logiciel pour le tableau et le graphique ?

[rokoko]

j'ai regardé du coté d'un https://mathcurve.com/surfaces/hyper...rboloid1.shtml

(*)

avec

mais rien de claire, car pour le triplets pythagoriciens, on a fait la transformation



et on le voit dans les coordonnées cylindriques paraboliques https://mathcurve.com/surfaces/tripl...leorthog.shtml

mais pour (*) , quelle transformation s'il y'en a ???

on'a d'après mathcurve

Merci pour la piste. Je vais prendre le temps d'explorer.

[rokoko]

J'ai repris le tracé des points restreints à l'unique cas d = 5.

Il n'apparaît en effet rien de simple dans l'arrangement général des points.

Pièce jointe 423149

Difficile de visualiser un quelconque représentation d'un formule. Un peu vide sidéral...

(Désolé, je n'avais pas répondu avec citation. Chose désormais réparée)

[Opabinia]

Si je peux me permettre, quel logiciel pour le tableau et le graphique ?

L'énumération des triplets, la synthèse des images Bitmap ont été réalisées en Pascal, par deux programmes sources rédigés à cette occasion.

Le premier programme est relativement simple; les éléments du triplet sont identifiés par (Na, Nb, Nc);
l'écart caractérisant la suite (a² + b² - c²) est introduit sous forme de constante Kabc et recalculé ensuite pour vérification; il s'agit alors de l'entier Delta.
Un réel (d) en principe nul, correspondant à l'écart séparant une racine carrée de son arrondi entier:

r:= Sqrt(Nc2); Nc:= Round(r); d:= Abs(r - Nc);

est aussi affiché pour vérification en dernière colonne (en gris); il ne figure pas sur les images postées.

E_Texte désigne une unité contenant des procédures de confort, contenant
- A_ : pause / arrêt du programme;
- Wt(x, y, '***') : écriture d'une chaîne de caractère à partie de la case de coordonnées d'écran (x, y);
- We(x, y, Nentier, Format) : écriture d'un entier.

La première ligne ('k s a b c d') se réfère aux notations employées dans la discussion.

 PROGRAM XXX;

 USES Crt, E_Texte;

 CONST Kabc = 5;

 PROCEDURE Aff_0;
   BEGIN
     E(0015); Wt(4, 2, 'k     s     a     b     c     d')
   END;

 PROCEDURE Enumeration;
   CONST Smax = 150; o = 6;
   VAR k: Byte; CodeC: Word;
       Alim, Delta, Na, Na2, Nb, Nb2, Nc, Nc2, Sab, Sm: Z_32; d, r: Reel;
   BEGIN
     k:= 0; Sm:= 0; CodeC:= 11;
     FOR Sab:= 1 TO Smax DO
       BEGIN
         Alim:= Sab DIV 2;
         FOR Na:= 0 TO Alim DO
           BEGIN
             Nb:= Sab - Na;   Na2:= Sqr(Na); Nb2:= Sqr(Nb);
             Nc2:= Na2 + Nb2; Dec(Nc2, Kabc);
             IF (Nc2>0) THEN
               BEGIN
                 r:= Sqrt(Nc2); Nc:= Round(r); d:= Abs(r - Nc);
                 IF (d<1E-10) THEN
                   BEGIN
                     Inc(k);   Delta:= Na2 + Nb2; Dec(Delta, Sqr(Nc));
                     E(0012);  We(2, k + 4, k, 3);
                     IF (Sab>Sm) THEN CodeC:= 24 - CodeC; Sm:= Sab;
                     E(CodeC); Write(Sab:o);
                     E(0010);  Write(Na:o, Nb:o, Nc:o);
                     E(0009);  Write(Delta:o);
                     E(0007);  Write(d:15:10)
                   END
               END
           END
       END;
     A_
   END;

 BEGIN
   Aff_0; Enumeration
 END.

[rokoko]

L'énumération des triplets, la synthèse des images Bitmap ont été réalisées en Pascal, par deux programmes sources rédigés à cette occasion.

Le premier programme est relativement simple; les éléments du triplet sont identifiés par (Na, Nb, Nc);
l'écart caractérisant la suite (a² + b² - c²) est introduit sous forme de constante Kabc et recalculé ensuite pour vérification; il s'agit alors de l'entier Delta.
Un réel (d) en principe nul, correspondant à l'écart séparant une racine carrée de son arrondi entier:

r:= Sqrt(Nc2); Nc:= Round(r); d:= Abs(r - Nc);

est aussi affiché pour vérification en dernière colonne (en gris); il ne figure pas sur les images postées.

E_Texte désigne une unité contenant des procédures de confort, contenant
- A_ : pause / arrêt du programme;
- Wt(x, y, '***') : écriture d'une chaîne de caractère à partie de la case de coordonnées d'écran (x, y);
- We(x, y, Nentier, Format) : écriture d'un entier.

La première ligne ('k s a b c d') se réfère aux notations employées dans la discussion.

 PROGRAM XXX;

 USES Crt, E_Texte;

 CONST Kabc = 5;

 PROCEDURE Aff_0;
   BEGIN
     E(0015); Wt(4, 2, 'k     s     a     b     c     d')
   END;

 PROCEDURE Enumeration;
   CONST Smax = 150; o = 6;
   VAR k: Byte; CodeC: Word;
       Alim, Delta, Na, Na2, Nb, Nb2, Nc, Nc2, Sab, Sm: Z_32; d, r: Reel;
   BEGIN
     k:= 0; Sm:= 0; CodeC:= 11;
     FOR Sab:= 1 TO Smax DO
       BEGIN
         Alim:= Sab DIV 2;
         FOR Na:= 0 TO Alim DO
           BEGIN
             Nb:= Sab - Na;   Na2:= Sqr(Na); Nb2:= Sqr(Nb);
             Nc2:= Na2 + Nb2; Dec(Nc2, Kabc);
             IF (Nc2>0) THEN
               BEGIN
                 r:= Sqrt(Nc2); Nc:= Round(r); d:= Abs(r - Nc);
                 IF (d<1E-10) THEN
                   BEGIN
                     Inc(k);   Delta:= Na2 + Nb2; Dec(Delta, Sqr(Nc));
                     E(0012);  We(2, k + 4, k, 3);
                     IF (Sab>Sm) THEN CodeC:= 24 - CodeC; Sm:= Sab;
                     E(CodeC); Write(Sab:o);
                     E(0010);  Write(Na:o, Nb:o, Nc:o);
                     E(0009);  Write(Delta:o);
                     E(0007);  Write(d:15:10)
                   END
               END
           END
       END;
     A_
   END;

 BEGIN
   Aff_0; Enumeration
 END.

Bravo. J'ai fait du Pascal il y a bien longtemps et je n'avais pas en mémoire la puissance de cet outil. Il va falloir que je m'y intéresse.

Je ne voudrais pas abuser mais je serais curieux de voir comment se répartissent (par rapport aux autres) les solutions du type :
a = p + q - 3
b tel que b² = 2 (p + q)
c = p + q - 2

(équations toilettées pour rester avec des entiers naturels)

Ca vous paraît jouable ?

[Opabinia]

... je serais curieux de voir comment se répartissent (par rapport aux autres) les solutions du type :
a = p + q - 3
b tel que b² = 2 (p + q)
c = p + q - 2

Cela revient à écrire:
c = a + 1
b² = 2(a + 3)

d'où: c² - a² - b² = 2a + 1 - 2a - 6= -5 ;
ces points appartient donc bien à l'ensemble précédent.

La paramétrisation est cependant défectueuse , parce qu'elle se réduit à la somme s = p + q , donc à un seul terme;
les points correspondants sont situés sur la parabole d'équation b² = 2(a + 3) .
De plus, (b) est nécessairement pair, puisque son carré l'est aussi.

[rokoko]

En effet, j'avais une écriture bien compliquée pour ce cas particulier.

[azizovsky]

On a :

[rokoko]

On a :

En effet, c'est bien vu. En développant ça marche.
J'ai voulu utiliser sur la première équation la solution des triplets pythagoriciens par identification, mais on retombe logiquement sur la deuxième équation...

[Opabinia]

En développant ça marche.
J'ai voulu utiliser sur la première équation la solution des triplets pythagoriciens par identification, mais on retombe logiquement sur la deuxième équation...

Evidemment, puisque le premier terme est un carré parfait:

(a² - b²)² + (2ab)² = a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 4a²b² = (a² + b²)²

d'où: a² + b² = ± (z² + d) .

La relation plus générale a² + b² = z² + k

est d'un point de vue graphique intéressante, pour la génération de points à coordonnées entières dans le plan.
Mais c'est un tout autre sujet.

[azizovsky]

Quelque fois on tourne autour du pot ..., j'ai lié l'équation à l'équation avec



et j'ai tombé sur les deux solutions :





ce qui est équivalent à :

donc les triplets pythagoriciens (a,b,c) avec

[azizovsky]

oups : (c'est impardonnable sur les chantiers... où il est question de finition, d'argent,... ) .

[rokoko]

oups : (c'est impardonnable sur les chantiers... où il est question de finition, d'argent,... ) .

Oui, et

[rokoko]

Malgré tout, on se place dans un cas particulier et on n'aura pas toutes les solutions. Si je reprends mon exemple initial 20² + 5 n'est pas un carré et pourtant il est égal à 9² + 18²

[rokoko]

Je veux dire, n'est pas le carré d'un entier.

[rokoko]

Lire 20² - 5 au lieu de 20² + 5

[rokoko]

L'équation trouvée par Azizovsky est belle, mais il me semble qu'il faille se focaliser sur la recherche de suites à 2 variables (voire 3...) pour a, b et c comme c'est le cas pour les triplets pythagoriciens ( a(p;q) = p² – q² ; b(p;q) = 2pq ; c(p;q) = p² + q² ). La recherche sera plus facile si on se fixe une valeur pour d. Je propose de garder d=5.

[azizovsky]

donc les triplets pythagoriciens (a,b,c) avec

Pardon, la notation est mal choisie : le triplets (u,v,w) :



au lieu de comme au départ de la discussion, je l'ai changé en

je voulais garder la première en conclusion mais ...

parmi les triplets pythagoriciens (u,v,w), on prend ceux qui vérifient

ou

mea-culpa.

je croyais que la formule n'a pas d'importance, mais après deux jours, j'ai regardé le brouillon ...

[rokoko]

a = n² + n – 2
b = 2n + 1
c = n² + n

Cela donne tous les cas pour lesquels c - a = 2 , soit 25 % des cas (à partir des données d'Opabinia). Il y a environ 20 % des cas pour lesquels la différence est de 1. Du coup ça vaudrait le coup de voir ce que donne le graphique non pas avec les couples (a;b) mais (a;c).

Pour trouver ces formules, je suis parti d'une chose que j'avais lu à propos des triplets pythagoriciens qui disait qu'à partir d'un nombre limité de triplets de base, on trouvait tous les autres. Et je suis parti de (7;10;12)