Groupe symétrique

[Thoralf]

Bonsoir à tous,

Je voudrais démontrer rigoureusement ce théorème: tout élément de Sn est égal à un produit de transpositions élémentaires (i, i+1) avec i appartenant à {1, ..., n-1}.

Je comprends ce théorème mais je n'arrive à le démontrer de manière rigoureuse. Je me suis aidé d'un exemple. Je suis parti de 5 cartes: 8, 9, 10, Valet, Dame. Je voulais montrer qu'on pouvait faire la transposition (8, Valet) en procédant par transpositions élémentaires (i, i+1). Effectivement, on y parvient via cinq transpositions.
Mais je n'arrive pas à généraliser cela pour un nombre d'éléments m. Je me trompe au niveau des indices de mon produit. Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance.
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[Tryss2]

Une récurrence sur n marche bien : Si c'est vrai pour n, alors pour un élément s de S(n+1)

Soit s(n) = n, et dans ce cas, on peut voir s comme un élément de S(n)
Soit s(n) = k, et dans ce cas, on va écrire s comme un produit d'un élément de s qui laisse n invariant, et de transpositions

[Thoralf]

Salut,

J'aimerais une petite précision. Qu'est-ce que tu entends par s(n) ?

En gros, je pensais faire: soit P: "tout élément n de Sn peut s'écrire comme un produit de transpositions élémentaires (i, i+1)".

Pour n = 2, c'est évident. Nous avons une transposition qui peut s'écrire (i, i+1).
Je suppose que l'élément n de Sn s'écrit comme produit de transpositions élémentaires. Mais je n'arrive pas à gérer le cas n+1.

[syborgg]

Salut,

J'aimerais une petite précision. Qu'est-ce que tu entends par s(n) ?

.

C'est l'image de n par s ( ne pas oublier que s est une bijection de l'ensemble ...)
Mais je crois que Tryss2 voulait dire s(n+1)=n+1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

C'est l'image de n par s ( ne pas oublier que s est une bijection de l'ensemble ...)
Mais je crois que Tryss2 voulait dire s(n+1)=n+1.

Oups, oui, je voulais parler de s(n+1) = n+1 (ou différent de n+1)


Du coup, j'explicite un peu. Si on a s(k) = n+1 et s(n+1) = m, on peut définir une permutation s' de S(n) qui vérifie s'(i)= s(i) pour i différent de k et s'(k) = m. Et alors on peut écrire s comme le produit de s' et d'une transposition (laquelle?)