intégrale avec changement de variable

[loupou]

bonjour,

je ne trouve pas la méthode, quelqu'un peut m''éclairer à ce sujet ?
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[maatty]

Quelle est la nature du domaine d'intégration? Quel type de changement de variable cela te suggère-t-il?

[loupou]

je ne connais pas la nature du domaine d'intégration, la question est posé telle quelle...

[gg0]

Bonjour.

est l'équation d'une ellipse.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[loupou]

du cou qu'elle est l'interet du changement de variable ? on doit integrer sqrt(...) sur le domaine de l'ellispe ?

[jacknicklaus]

du coup qu'elle est l'interet du changement de variable ?

L'intérêt d'un changement de variables c'est de simplifier soit la description du domaine à intégrer, soit l’intégrande, soit les deux

on doit integrer sqrt(...) sur le domaine de l'ellispe ?

ben oui, dans tous les cas.

Tu as ici une intégrale exprimée en (x,y), coordonnées cartésiennes
Que connais tu d'autre comme système de coordonnées "classiques", à part les cartésiennes ?

[QueNenni]

On pose x²/4 = u² et y²/9 = v² et on enchaîne par un deuxième changement de variable classique, j'adore les exercices de calcul mental !

[loupou]

oui polaire, du cou on remplace x par r et y par teta?, mais je vois ce qu'il faut poser précisément ...

[QueNenni]

Ce que mon cerveau me dit en regardant cette intégrale :
"C'est un cône droit dont la pointe est placée à l'origine des coordonnées cartésiennes.
Ce cône a une section elliptique.
Les dimensions de la base du cône sont : a =2, b =3
hauteur du cône h= 1
On te demande de calculer le volumes sous la surface conique (entre le plan cote z =0 et z = 1)
Ok! traitement en cours...Volume du solide = volume du cylindre - volume du cône (de même hauteur et de même base et de même axe)."
Volume : 6pi -1/3 6pi = 4pi. Edition, traitement terminé !"

[loupou]

ok.. vous allez un peu trop vite, pourquoi s'occuper d'un cone en 3d du cou ? les dimensions de la base du cone sont obtenu avec la condition <1 pour le domaine ?
pouvez vous détailler un peu votre méthode svp ?

[jacknicklaus]

oui polaire, du cou on remplace x par r et y par teta?, mais je vois ce qu'il faut poser précisément ...

Non, on ne remplace pas x par r et y par theta, x et y ont chacun une expression fonction de r et de theta.
Dans cette expression que je te laisse retrouver, on a la relation sympathique x² + y² = r²

x² + y², c'est proche de x²/4 + y²/9 = (x/2)² + (y/3)², non ?

ca serait chouette si (x/2)² + (y/3)² pouvait être égal à r² non ?

donc c'est x/2 que tu vas exprimer en polaire, et aussi y/3.
Celà va te donner une intégrale absolument triviale.


PS
Pour la seconde fois, on n'écrit pas "du cou", mais "du coup".

[loupou]

je trouve cela, ca vous parez bon ?

[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas lu le détail du calcul (*), mais il semble bien que le résultat final soit bon.

Cordialement.

(*) ma tête est verticale, elle ne lit pas dans ce sens.

[jall2]

Le jacobien se détermine sans calcul en faisant 2 changements de variables consécutifs

x = 2x'
y = 3y'

dx.dy devient 6dx'.dy'

puis

x' = r.cos(theta)
y'= r.sin(theta)

dx'.dy' devient r.dr.d(theta)

au final dx.dy devient 6r.dr.d(theta)

[jacknicklaus]

il semble bien que le résultat final soit bon.

je confirme. 4pi est le résultat correct.

[ansset]

je confirme. 4pi est le résultat correct.

j'ai un coute, même sans calcul.
il s'agit bien 2 et 3
sans faire compliqué, sa surface vaut pi*ab.
a et b étant les valeurs des rayons de cotés
on retrouve d'ailleurs pi*r² pour un cercle.
sachant qu'ici a et b valent 2 et 3 : ab vaut 6 et non 4 !

[gg0]

Ansset :

"j'ai un coute, même sans calcul." tu veux dire un doute ?
Non le 4 pi est correct, on ne calcule pas l'aire de l'ellipse, mais l'intégrale, sur cette surface, d'une certaine fonction.

Cordialement.

[ansset]

je deviens alzhaimer ou quoi, la surface d'une ellipse vaut bien pi*ab , non ?
à moins que l"énoncé ne propose qu'une moeceau d'ellipse, mais je ne vois pas où....

[ansset]

Non le 4 pi est correct, on ne calcule pas l'aire de l'ellipse, mais l'intégrale, sur cette surface, d'une certaine fonction.

OK, à relire donc, mais, pour ma part, c'est bien l'intégrale sur l'ellipse.

[gg0]

Heu ... l'intégrale de f sur [a,b] ne donne pas b-a; sauf si f est la fonction constante égale à 1 par exemple. De même, l'intégrale double d'une fonction sur une certaine surface ne donne pas l'aire de cette surface, sauf cas particulier. Relis le message initial.

Cordialement.

[jacknicklaus]

ansset, l'expression sous la racine carrée n'est pas égale à 1 (elle ne l'est que sur la frontière de l'ellipse), mais est égale à r après passage en polaire. . De sorte que l'intégrale ne se réduit pas au calcul de surface.

le r qui subsiste donne, avec le jacobien, un r² dont l'intégrale entre 0 et 1 donne 1/3, là ou le calcul de surface donne un r dont l'intégrale entre 0 et 1 donne 1/2. D'où le 6pi pour la surface, mais 4pi pour l'intégrale en question.

[ansset]

le r qui subsiste donne, avec le jacobien, un r² dont l'intégrale entre 0 et 1 donne 1/3, là ou le calcul de surface donne un r dont l'intégrale entre 0 et 1 donne 1/2. D'où le 6pi pour la surface, mais 4pi pour l'intégrale en question.

tu as raison, j'étais trop distrait !
merci pour ta correction.

[QueNenni]

Bravo! , je crie bravo à tous pour votre perspicacité!