Bijectivité d'une fonction

[Louis F]

Bonjour, je dois montrer que f : R^2 à valeurs dans R^2 est bijective de R^2 dans R^2. J'ai essayé de posé le problème en un système
(x;y) ------> (exp(x) + x ; x + 5y)

donnant pour un couple a et b une unique solution pour x et y mais cela n'a pas aboutit. Si quelqu'un à une piste, je sais que l'on peut appliquer le théorème de la bijection à une fonction qui a x associe tel chose mais je ne sais pas si c'est possible sur une fonction appliquant quelque chose à un couple.

Merci d'avance pour votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

Quelle est la définition d'une bijection ? Il suffit de l'appliquer.

Ta fonction est-elle bien f : (x;y) ------> (exp(x) + x ; x + 5y) ?

Cordialement.

NB : Si tu as vraiment montré que "pour un couple a et b [il y a] une unique solution pour x et y", tu as fini !!

[Louis F]

je n'ai pas pu trouver de relation entre x et a b et entre y et a b car ce n'est pas une résolution de système de premier degrés. Ce que vous me proposé c'est de revenir à la définition de la bijection pour prouver la bijection de f ?

[gg0]

Il ne s'agit pas de trouver une relation, mais de montrer que la définition (ou une caractérisation équivalente) est vérifiée.
Quelle est la définition ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Louis F]

tout élément de l'ensemble final est atteint une unique fois

[gg0]

Donc tu prends un (a,b) quelconque dans R^2, puis tu prouve qu'il existe une solution unique au système

qui pose pas de problème.

Bon travail !

[Louis F]

Bonjour, je dois montrer que f : R^2 à valeurs dans R^2 est bijective de R^2 dans R^2. J'ai essayé de posé le problème en un système
(x;y) ------> (exp(x) + x ; x + 5y)

donnant pour un couple a et b une unique solution pour x et y mais cela n'a pas aboutit. Si quelqu'un à une piste, je sais que l'on peut appliquer le théorème de la bijection à une fonction qui a x associe tel chose mais je ne sais pas si c'est possible sur une fonction appliquant quelque chose à un couple.

Merci d'avance pour votre aide.

J'avais signalé au début de cette conversation que le système était insolvable

[gg0]

Encore une fois, il n'est pas demandé de donner une solution explicite à ce système, seulement de montrer qu'il en a une et une seule, quels que soient a et b (*). Quand vas-tu t'y mettre ?

Cordialement.

(*) relis la définition : elle ne dit pas que tu dois savoir écrire explicitement comment on atteint les éléments de l'ensemble d'arrivée, seulement que tu dois montrer qu'ils sont tous atteints d'une façon et une seule.

[PlaneteF]

Bonjour,

@Louis F : Le TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires), ça te parle ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...m%C3%A9diaires

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...%A9ralisations

Cordialement

[gg0]

PlaneteF :

Il en parle dans son premier message, mais voit bien qu'il ne peut l'appliquer directement. Et oublie que ça lui donne la solution de son problème.

Cordialement.

[PlaneteF]

PlaneteF :

Il en parle dans son premier message (...)

Ah oui effectivement, notre ami mentionne le "théorème de la bijection" qui est un corollaire du TVI.

Ben du coup c'est plié

Cordialement

[Louis F]

Bonsoir, je ne savais pas que le théorème de la bijection pouvait s'appliquer à une fonction de couplage, est ce le cas ?

[gg0]

Ben non ! (*)

Mais résoudre ton système est très facile : la première équation donne x : Justifie qu'il existe, a étant donné, une et une seule valeur de x; puis, b étant donné, une et une seule valeur de y. Ainsi, tu prouves que f est bijective ...

Je suis obligé de te donner la démarche parce qu'un arbre (le fait de ne pouvoir calculer explicitement x) t'a caché la forêt (le but du travail).

Bonne suite ...

(*) J'aimerais bien savoir comment tu veux l'énoncer ... il est lié profondément à "une seule variable".

[Louis F]

J'ai résolu ce système sans trouver de solution explicite donnant a et b je ne sais pas comment envoyer des pièces jointes, je comprend bien depuis le début que a sera donné une unique fois le problème se pose pour b.
C'est ce que j'essaye de faire comprendre à notre collègue qui essaye lui de me prouver par a+b que je suis le dernier des guignols.

Bien à toi en te remerciant de ton aide.

[gg0]

Par "répondre" ou "aller en mode avancé" tu as un formulaire de réponse plus complet avec (en dessous) le moyen d'insérer des pièces jointes. Je ne comprends pas ce que tu racontes sur b (on cherche un antécédent de (a,b); b joue le même rôle que a. Si on fixe (a,b), a est fixé, et b aussi)

[Louis F]

{X=a-exp(x)
{Y=(b-a+exp(x))/5

[gg0]

Je ne comprends pas. Qui sont X et Y ?
Si tu as mis par erreur des majuscules, x=a-exp(x) est une équation d'inconnue x, la même qu'au départ, ça n'est pas une réponse au problème posé.

Il va falloir que tu te décides à traiter le problème : " montrer qu'il en a une et une seule (*), quels que soient a et b ". Je t'ai presque tout dit, je ne vais pas rédiger une correction, c'est le travail de ton prof. Arrête de faire semblant de résoudre et pose-toi la question "comment justifier qu'il en a une et une seule (*), quels que soient a et b". Comment prouver qu'il n'y a qu'un seul x, puis qu'il n'y a qu'un seul y. Et ça se dit en bon français.

Cordialement.

(*) de solution (x,y)

[Louis F]

Veux tu donc que je t'envoies mon cours pour te montrer que pour répondre au problème posé on essaye de trouver le nombre de solutions de l'équation h(x;y)=(a;b) ou ça va aller ?
Je ne vais pas chercher à aller plus moins dans la discussion

Très cordialement, bonne soirée.

[gg0]

Pourquoi reviens-tu toujours sur ce qui est évident pour nous deux ?
manifestement, tu ne comprends pas ce qu'on te dit.

Oui, on sait que "pour répondre au problème posé on essaye de trouver le nombre de solutions de l'équation h(x;y)=(a;b) ", c'est à dire connaître, pour a et b fixés, le nombre de valeurs de x et le nombre de valeurs de y (une solution est un couple (x,y)).
Et dans ton cas, tu as tous les moyens de trouver le nombre de valeurs pour x (1 et 1 seule) puisque tu connais le théorème de la bijection, puis le nombre de valeurs pour y (1 et 1 seule), et de conclure qu'il y a toujours une solution et une seule.
Si ça ne te suffit pas, j'en conclurai (après 8 tentatives d'explication) que tu attends seulement la rédaction d'un corrigé.