racines de polynôme

[patrick34200]

Bonjour, j'ai une question sur laquelle je bloque un peu et j'aimerai une aide
Soit P ∈ R[X] de degré 2, irréductible. Montrer que si z1 et z2 sont les racines complexes de P, alors il existe t ∈]0, 1[ tel que P'((1 − t)z1 + tz2) = 0

Comme z1 et z2 sont racines complexe de j'ai P(z1) = P(z2) = 0, ensuite j'ai pensé à Rolle car après avoir développé l'intérieur de P'((1-t)z1 + tz2) je suis arrivé à P'(t(z2-z1) +z1) = 0 et donc le théorème de Rolle fonctionnerait si z1 = 0 et z2 = 1 avec P(z1) = P(z2) mais je ne sais pas trop comment justifier que z2 = 1 et z1= 0 , merci d"avance
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[Resartus]

Bonjour,
il faut utiliser le fait que le poiynôme est de degré 2...
Sachant cela, sa dérivée est très simple, et la valeur de t nécessaire à l'égalité devient évidente...
A noter d'ailleurs que c'est vrai aussi si le polynome n'est pas irréductible dans R
Mais cela semble du niveau lycée plutôt que supérieur*

*quoique : je ne sais plus très bien où en est l'enseignement lycée pour l'étude des dérivées...

[stefjm]

*quoique : je ne sais plus très bien où en est l'enseignement lycée pour l'étude des dérivées...

et des complexes...

[gg0]

Bonjour Patrick34200.

Le théorème de Rolle fonctionne bien avec la fonction réelle f : t-->|P((1-t)z₁ + tz₂| et t variant de 0 à 1. Bien évidemment, il faut savoir dériver une fonction complexe de la variable réelle, et remarquer que f ne s'annule pas sur ]0;1[.
L'idée de Resartus est nettement plus simple, et du niveau d'une ancienne terminale S.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[patrick34200]

Bonjour j'ai écrit P(x) = (X-z1)(X-z2) et j'ai développé puis dérivée j'ai P'(x) = 2X -z2 - z1 puis je remplace x par (1-t)z1 + tz2 j'ai donc P'((1-t)z1 + tz2) = 2(z1-tz2+tz2) - z2 - z1 et c'est ensuite pour t = 1/2 que P'((1-t)z1 + tz2) = 0 , est-ce juste ?

[gg0]

Bonjour.

P(x)=ax²+bx+c. z₁+z₂ = -b/a; p'(x)=2ax+b s'annule pour x=-b/(2) = (z₁+z₂)/2 = (1-1/2)z₁+1/2.z₂.

Cordialement

[jacknicklaus]

Bonjour,

Bonjour j'ai écrit P(x) = (X-z1)(X-z2) et j'ai développé puis dérivée j'ai P'(x) = 2X -z2 - z1 puis je remplace x par (1-t)z1 + tz2 j'ai donc P'((1-t)z1 + tz2) = 2(z1-tz2+tz2) - z2 - z1 et c'est ensuite pour t = 1/2 que P'((1-t)z1 + tz2) = 0 , est-ce juste ?

petite erreur, et finis ton calcul : P'((1-t)z1 + tz2) = 2(z1-tz1+tz2) - z2 - z1 = (z1 - z2)(1 - 2t)


par ailleurs, la forme la plus générale d'un polynôme de degré 2 à deux racines est P(X) = a(X-z1)(X-z2), mais celà ne change rien au calcul.

[GBZM]

Le théorème de Rolle fonctionne bien avec la fonction réelle f : t-->|P((1-t)z1 + tz2| et t variant de 0 à 1.

Sauf que ce n'est pas forcément une fonction réelle. Certes, P est à coefficients réels, mais z1 et z2 ne sont pas forcément réels.
Heureusement, ici, si z1 et z2 ne sont pas réels, ils sont complexes conjugués. Ça permet de se raccrocher aux branches.

[gg0]

Heu ... sans vouloir critiquer ... le module d'un complexe est bien un réel.
Mais je reconnais que la présence du module complique le calcul de la dérivée !!

Cordialement.

[GBZM]

Désolé, je n'avais pas vu le module.
Mais avec le module, il me semble que tu fais une erreur encore plus embêtante : ne confonds-tu pas dérivée du module et module de la dérivée ?

[gg0]

Non, mon idée n'est pas celle-ci. la dérivée du module s'annule, et on voit que c'est pour une valeur qui annule la dérivée.
Mais c'est bien compliqué, et Resartus ayant donné une méthode élémentaire, c'était seulement pour reparler de Rolle.