Bonjour, je suis en bachelor 1 et j'étudie les produits scalaires
Seulement lorsque l'on parle de produit scalaire je n'ai jamais obtenu de définition concrète.
Qu'est ce qu'un produit scalaire ? Que représente-t-il graphiquement ds certain cas ?
Quel est le but d'associer un réel à deux vecteurs d'un espace euclidien?
Pourquoi-a-t 'on inventé cette notion ?
En gros pour avoir une notion d'orthogonalité de façon très générale.
Wikipédia donne un bon point de départ non?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour CTHFLasagna.
"on parle de produit scalaire je n'ai jamais obtenu de définition concrète."
C'est normal, c'est une notion abstraite d'algèbre. L'intérêt d'étudier, dans le cadre de l'algèbre linéaire (des espaces vectoriels) les produits scalaire est qu'on a des propriétés communes qui permettront :
* de faire des calculs (montrer qu'un certain vecteur est nul, par exemple)
* de généraliser les notions des géométries à deux et trois dimensions dans des situations très différentes, ce qui permet d'avoir une intuition de ce qui se passe
"Qu'est ce qu'un produit scalaire ?"
Exactement ce que dit la définition et rien de plus. pas de sens caché derrière la définition
"Que représente-t-il graphiquement dans certain cas ? " Le premier qu'on rencontre est le produit scalaire de deux vecteurs du plan. Si A et B sont des points distincts et C un point, qui se projette en H sur (AB)
Donc le produit scalaire est un nombre, associé aux positions de A, B et C.
"Quel est le but d'associer un réel à deux vecteurs d'un espace euclidien?"
Si on le fait correctement, c'est d'avoir un produit scalaire, avec toutes les propriétés attachées (voir un cours de calcul vectoriel - Un ancien livre de première S par exemple)
"Pourquoi-a-t 'on inventé cette notion ? "
Parce qu'elle est apparue spontanément dans de nombreuses situations, en particulier en physique (notion de travail) et donc a été reconnue comme importante quand on a développé le calcul vectoriel.
Cordialement.
Je ne sais pas quel est ton niveau de connaissances : sais tu ce qu'est une forme bilineaire ? un espace vectoriel ?Envoyé par CTHFLasagna
En Belgique, "bachelor" correspond à notre licence.
Cordialement.
Ah ok merci je ne savais pas. A ce niveau tu devrais avoir eu depuis longtemps deja la definition d'un produit scalaire : une forme bilineaire symetrique relle definie positive. Quand on prend un plan euclidien muni d'une base orthonormee et qu'on exprime ce produit scalaire dans cette base, on retrouve la notion du lycee : application qui a deux vecteurs de coordonnees (x,y) et (x',y') associe le reel xx'+yy'.
Pourquoi une telle application est importante ? car, comme on le sait depuis le lycee, cela permet de donner une condition necessaire et suffisante pour que deux vecteurs soient orthogonaux : xx'+yy'=0. Mais aussi car elle permet de calculer le carre de la longueur d'un vecteur grace a Pythagore en faisant x=x' et y=y'. Mais aussi car elle permet de caracteriser les applications lineaires qui conservent la distance : ce sont exactement celles qui conservent le produit scalaire.
L'importance de cette application dans le cas du plan suggere de la generaliser a des espaces vectoriels de dimension quelconque sur un corps quelconque, ce qui donne la notion de formes bilineaires symetriques. Et grace a cette notion, on peut faire de facon elegante l'etude des quadriques (equivalent des ellipses, cercles et paraboles du plan euclidien) dans un espace vectoriel de dimension finie sur un corps quelconque. Voir par exemple le livre de Marcel Berge "geometrie".
Merci à tous pour vos réponses !!!!
Cela m'est très utile dans la compréhension des mathématiques. Je trouve cela relativement difficile de passer des mathématiques du lycée au supérieur.
Mais qu'est ce qu'une forme dite "bilinéaire", y a t-il une différence avec "linéaire"?
Une forme bilinéaire B sur un-espace vectoriel E, est une application de deux variables qui est linéaire en chacune des variables:
et
La notion de produit scalaire est bien pratique aussi sur des espaces vectoriels de fonction : Décomposition en série Fourier par exemple.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
