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Application linéaire



  1. #1
    snsdtiti

    Application linéaire


    ------

    Bonjour,
    J'ai un exercice à faire mais je vous avoue que j'ai rien compris... J'espère que vous pourrez m'aidez ^^'

    Pour toutes les applications linéaires de ce challenge, on doit

    1.Calculer l'image des vecteurs de base i et j;
    2.Donner la matrice de l'application linéaire;
    3.Déterminer si l'application est bijective et si oui, calculer la matrice de l'application inverse. On essaiera si possible de reconnaître la nature de l'application linéaire inverse.

    .On note D la droite vectorielle de vecteur directeur i et Delta la droite vectorielle de vecteur directeur j. Étudier successivement :
    - la projection vectorielle sur D parallèlement à Delta;
    - la symétrie vectorielle par rapport à D parallèlement à Delta;
    - la dilatation vectorielle de base D et de rapport 2 parallèlement à Delta;
    .On note D la droite vectorielle de vecteur directeur j et Delta la droite vectorielle de vecteur directeur 2i - 3j. Reprendre les mêmes questions que le challenge précédent.
    .La composée d’une homothétie de rapport 13 suivie d’une symétrie de base D de vecteur directeur 2i - 3j dans la direction Delta de vecteur directeur 3i + 2j.

    Pour la projection vectorielle sur D parallèlement à Delta, je sais pas vraiment ce qu'il faut chercher.. Mais voilà ce que j'ai fait :
    soit i(0,1) et j(1,0) soit u = ai +bj et pour la projection on a la formule p(u) = ai par contre je sais pas du tout ce qu'il faut en faire...

    Formule pour la symétrie : s(u) = ai -bj
    Formule dilatation : d(u) = ai +bj*lambda

    Merci d'avance pour votre aide TT

    -----

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  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Application linéaire

    Bonjour.

    Tu aurais pu continuer sur le même fil de discussion !
    C'est la même méthode, en réfléchissant un peu !!
    "Pour la projection vectorielle sur D parallèlement à Delta", les images de i et j sont évidentes, vu la définition de D et Delta. Fais un dessin.
    Puis tu réponds tranquillement aux questions. Une fois connues les images de i et j, la matrice est évidente (*). La bijectivité est aussi vite démontrée.

    Bon travail personnel.

    (*) voir le lien entre matrice et images des vecteurs de base dans le cours.

  4. #3
    snsdtiti

    Re : Application linéaire

    Bonjour,

    Désolée je ne savais pas si je pouvais continuer sur le même fil de discussion ><

    Merci pour ta réponse ^^ Mais je ne comprends toujours pas...

    j'ai p(i) = a*(1,0) et p(j) =a*(0,1) c'est bien ça ?
    A quoi correspond le a exactement ?

  5. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Application linéaire

    C'est qui ce a ?

    Sérieusement, quel est le projeté de i ? Celui de j ?
    On ne te demande pas des choses difficiles, juste de comprendre ce qui se passe. Tu n'as jamais utilisé une projection ? Si c'est ça, va voir sur Internet ce qu'est, en géométrie, une projection. Et profites-en pour regarder ce que sont les symétrie, les dilatations, les homothéties.
    Cet exercice suppose un minimum de connaissances en géométrie plane et vectorielle.

    Cordialement.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    snsdtiti

    Re : Application linéaire

    Je sais pas le projeté de i ça doit être (1,0) et j(0,1) donc la matrice c'est
    1 0
    0 1 ? Si je demande ici c'est justement parce que j'ai rien compris, même avec le cours sous les yeux je comprend rien....

  8. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Application linéaire

    Le projeté de i est un vecteur.

    Fais un dessin : dans le plan, l'origine O, ce qui fait que tout "vecteur" d'origine O est un élément de l'espace vectoriel associé (plan vectoriel); puis deux vecteurs i et j, non colinéaires pour faire une base du plan vectoriel, représentés avec comme origine O. Maintenant, tu peux faire apparaître les droites D et Delta, puis projeter le vecteur i (origine et extrémité) parallèlement à Delta, sur D. Comme i est sur D, son image est le vecteur ...
    Enfin, tu vas projeter le vecteur j (origine et extrémité) parallèlement à Delta, sur D; son image est le vecteur ...

    Dans les deux cas, je veux une réponse en terme de vecteur (c'est possible), pas de ses coordonnées.
    A toi.

    NB : Tu me donnes l'impression de faire une formation à bac+4 (genre prépa agreg) en n'ayant jamais fait de géométrie élémentaire.

    NBB : la matrice que tu proposes est celle de l'identité. Rien à voir avec la projection sur une droite.

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  10. #7
    snsdtiti

    Re : Application linéaire

    Je suis pas sur de ma réponse...

    Comme i est sur D, son image est le vecteur j
    Comme j est sur Delta, son image est le vecteur i ?


    Pour information je suis en DUT informatique 2em année et bon la géométrie ça fait un moment (j'ai fait un détour dans mes études)

  11. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Application linéaire

    OK,

    je comprends mieux tes difficultés. Par contre, je en comprends pas trop pourquoi tu as un tel sujet en Dut info, sauf si votre prof vous a fait un gros cours de géométrie (un module complet au moins).

    J'aimerais bien que tu fasses le dessin, O, i et j placés (un repère du plan). Puis tu projettes les extrémités de i, pour voir ce que ça donne. Tu sais au moins ce que veut dire "le projeté du point M sur D parallèlement à Delta ?

  12. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Application linéaire

    Bon,

    en relisant tes messages, j'ai l'impression que tu as eu, quelque part, des explications qu'on peut utiliser :
    "soit u = ai +bj et pour la projection on a la formule p(u) = ai "
    Cette formule est valable pour la projection sur la droite vectorielle dirigée par i et parallèlement à la droite vectorielle dirigée par j. C'est le cas ici. Donc il faut prendre pour u le vecteur i : i = ? .i + ??.j donc p(i) = ?.i d'après ta formule. Puis même chose pour j.

  13. #10
    snsdtiti

    Re : Application linéaire

    Nous avons un module pour la géométrie mais c'est pas vraiment des cours (y a pas d'explication) ils nous on donné un poly avec tout dedans mais c'est tellement abstrait que c'est incompréhensible pour moi TT
    Du coup j'ai fait le repère mais c'est vrai que je ne comprend pas faire la projection... j'ai regardé sur internet mais ça parle de projection orthogonale

  14. #11
    snsdtiti

    Re : Application linéaire

    (Désolée pour le double post j'ai envoyé sans faire exprès)

    Du coup en gros j'ai : (je peux pas envoyer d'image...)

    l
    l
    j l_ _ _ _
    i
    Delta est la droite qui suit les ordonnée et D suit les abscisses

    Pour la formule u = ai +bj
    pour i : i=ai +bj donc p(i) = ai
    pour j : j=ai+bj donc p(j) =aj

    Le problème c'est que je comprend pas la formule, son sens exacte et ce qu'elle permet de dire...

  15. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Application linéaire

    Si tu ne peux pas envoyer d'image, laissons tomber.
    En mettant "projection sur une droite parallèlement à une autre" sur mon moteur de recherche j'ai trouvé tout de suite ce lien.

    u = ai +bj n'est pas une formule magique, ce n'est pas abracadabra.
    C'est simplement que pour tout vecteur du plan, il y a deux nombres, appelés ici a et b, tels que en multipliant i par a, j par b et additionnant, on retrouve u. C'est le cas dès que i et j n'ont pas la même direction. Et on voit ça en seconde. a et b sont les composantes de u dans la base (i,j) et si OM=u, a et b sont les coordonnées de M dans le repère (O,i,j). Tout ça, on le voit (le prof en parle, il ne peut pas faire que les élèves comprennent) en seconde.
    Écrire i=ai +bj, c'est faire de la magie, pas des maths. C'est écrire en espérant que ça dit quelque chose alors qu'on ne sait pas ce qu'on écrit, ... de la magie. par contre, trouver les valeurs de a et b pour que l'égalité soit vraie est très facile. Et c'est ce que j'avais fait avec le " i = ? .i + ??.j ". Que tu n'as pas cherché à comprendre, tu t'es contenté de la "formule magique ai+bj".

    Commence à faire des maths : vois la signification des lettres dans les formules, puis applique-les consciemment.

    Bon travail !

    NB : j'ai formé, en IUT, des ex bacs pro, qui avaient du mal en maths. mais ils essayaient de comprendre (ou partaient d'eux-même au bout de 3 mois). Plusieurs sont ingénieurs.

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