Nombre d'applications

[Corr]

Bonjour,

J'ai beaucoup de mal avec le concept de compter les applications d'un ensemble fini E dans un ensemble fini F. Je pense ne pas avoir compris ce qu'on demande.
Imaginons que j'ai l'ensemble E={1,3} et l'ensemble F={1,2}, quel type d'application on cherche de E dans F ?
Par exemple est ce que cette application convient ? Elle compte comme une application ? Soit n un élément de E (donc soit 1 soit 3), je pose f(n) = (n+1)/2 une application de E dans F. Pour n=1 on atterrit dans F, pour n=3 aussi
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[gg0]

Bonjour.

"quel type d'application on cherche de E dans F ?" Toutes !

Ce que tu ne comprends peut-être pas, c'est ce qu'est une application. Une application, ce n'est pas nécessairement une formule, comme ton "f(n) = (n+1)/2" (*), c'est simplement un ensemble de couples : E et F étant des ensembles, une application de E vers F c'est un ensemble de couples (a, b) avec a dans E et b dans F tel que pour chaque a dans E, il existe un et un seul couple (a,b). Le seul b associé à a est appelé l'image de a. Si j'appelle g cette application, et si (a,b) est un des couples, on note généralement b=g(a).
Donc la seule chose qu'on demande, pour que c e soit une application de E vers F est que chaque élément a de E a une image et une seule.
L'application de E dans F est donc parfaitement définie par la donnée des images des éléments de E, élément par élément.
Par exemple voilà toutes les applications de E={1,3} vers F={1,2} ( élément de E --> son image):
1 -->1
3 -->1

1 -->1
3 -->2

1 -->2
3 -->1

1 -->2
3 -->2

Il n'y en a pas d'autre. Si je note la première f, alors f(1)=f(3) = 1. Je n'ai pas fait un calcul, j'ai lu qui est l'application.

Cordialement.

(*) quelle formule utiliserais-tu pour une application de {a,b}dans {$,£,¤} ?

[Corr]

Merci gg0.
Il y a encore certaines choses un peu flou probablement dû à ma mauvaise interprétation d'une application
Par exemple pour
"1 -->1
3 -->1
Si je note la première f, alors f(1)=f(3) = 1"

Au dénombrement, on compte ça comme une seule application ? Il n'y a pas plusieurs applications qui vérifient f(1)=f(3)=1 ?

Une application, c'est seulement associer un nombre de l'ensemble de départ à l'ensemble d'arrivé, sans nécessairement mettre de formule ?

[Corr]

Pour illustrer mon avant dernière question
Soit x appartenant à E = {1,3}, et F={1,2}

1 -->1
3 -->1
L'application correspondante est f tel que f(1)=1 et f(3)=1. Autrement dit avec une formule c'est l'application f(x)=1. Il n'y en a pas d'autres ?

1 -->1
3 -->2
L'application correspondante est g tel que g(1)=1 et g(3)=2. Autrement dit avec une formule c'est l'application pour x dans E, g(x)=(x+1)/2. Il n'y en a pas d'autres ?

etc

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ben ... avec comme antécédents seulement 1 et 3, il n'y a pas d'autre application qui donne 1 et 1 puisqu'elle est totalement définie.
"c'est l'application f(x)=1" non, ce n'est pas ça : "c'est l'application f(x)=1 pour x=1 ou x=3".
Si tu v eux savoir s'il y a d'autres formules, oui c'est le cas, par exemple f(x)=E(x/4)+1 ou f(x)=E((x+3)/4), où E est la partie entière. Mais on te parle d'applications, pas de formules.
Et il n'y a généralement pas de formule. Encore une fois
a --> £
b -->¤
Tu veux mettre quelle formule ????

"Une application, c'est seulement associer un nombre de l'ensemble de départ à l'ensemble d'arrivé, sans nécessairement mettre de formule ? " remplace "un nombre" par "un élément", et c'est bon.

Tu fais un gros mélange avec les fonctions numériques que tu voyais en lycée, qui sont des cas particuliers d'applications, très particuliers. Grandis un peu, apprends ce qu'est une application de l'ensemble E dans l'ensemble F. C'est tout simple et très utile.

[Corr]

""c'est l'application f(x)=1 pour x=1 ou x=3""
J'ai précisé que je prenais x dans E au début du message donc nécessairement c'est x=1 ou x=3 mais j'aurais pu le re-préciser

"Tu fais un gros mélange avec les fonctions numériques que tu voyais en lycée, qui sont des cas particuliers d'applications"
Oui je pense aussi.. Mais ce que je ne comprends pas : si une fonction numérique est un type particulier d'application, cela compte donc comme une application au dénombrement. Or il y a plusieurs fonctions numériques comme tu l'as montré, f(x) = E(x/4)+1, ou f(x) = E((x+3)/4) et je ne vois pas pourquoi on compte ces fonctions numériques comme une seule application et non pas deux

[gg0]

Alors la réponse est simple : il y a une infinité d'applications. Car il y a déjà une infinité d'ensembles, donc on a complétement le choix.

Ton problème est de compter, pour deux ensembles finis E et F le nombre d'applications de E vers F. J'ai essayé de t'expliquer ce qu'est une application de E vers F, arrête de tout mélanger.

Les fonctions numériques sont un type d'applications (*) mais pas d'applications de E vers F. Et tu n'as toujours pas compris qu'une application n'est pas une formule !! Donc mon message #5 ne sert à rien, tu n'es pas prêt à le lire, tu continues à conserver ton idée fausse.
Je ne peux rien faire pour toi, la compréhension, c'est dans ta tête. Quand tu seras décidé à vouloir comprendre, tu reliras tout, tu apprendras ce qu'est une application de l'ensemble E vers l'ensemble F, et tu pourras commencer à comprendre ton cours. En attendant, fais autre chose, puisque tu n'es pas décidé !

[Corr]

J'ai bien compris qu'une application n'est pas nécessairement une formule via votre exemple (*)
Je n'ai pas compris pourquoi la fonction f de E (E={1,3}) vers F (F={1,2}) définie par f(x)=E(x/4)+1 qui relie bien chaque élément de E avec un seul élément de F (1 donne 1 par f, et 3 donne 1 par f), n'est pas compté comme une application de E vers F. Tant pis.

[gg0]

Ben ... elle est comptée ! Elle a déjà été comptée, et, puisque l'image de 1 est 1 et l'image de 3 est 1, c'est la même application. Elle a déjà été comptée.
Tu as pourtant déjà rencontré des situations où, sous des noms différents, c'est la même chose, par exemple 1+1 et 2.
J'ai réagi à ce que tu écrivais : "je ne vois pas pourquoi on compte ces fonctions numériques comme une seule application et non pas deux" C'est toi qui veut la compter comme une autre application ... la compter deux fois.
Alors que je te donnais deux exemples de formules pour toujours la même application. Tu devrais lire vraiment ce qu'on t'écrit.

Cordialement.

[Corr]

"Tu devrais lire vraiment ce qu'on t'écrit"
Je vous assure que je lis vraiment tout et que vos réponses m'aident beaucoup, ceci dit je n'ai pas forcément la logique mathématique
"Alors que je te donnais deux exemples de formules pour toujours la même application"
Il peut y avoir plusieurs formules pour une même application ? Si c'est le cas j'ai enfin compris !

[Corr]

J'ai bien relu et j'ai compris que c'était possible qu'il existe plusieurs formules pour une même application (pour moi c'était impossible au début c'est pour ça que je comprenais pas pourquoi on comptait pas une formule comme une seule application). Enfin !
Merci gg0 et surement à bientôt dans un autre post

[gg0]

Non, tu ne lis pas vraiment !

Au message #7, je te mets en gras, pour que tu arrêtes de comprendre de travers : "une application n'est pas une formule" et tu réponds "J'ai bien compris qu'une application n'est pas nécessairement une formule"
Autrement dit, tu préfères rester sur ton idée qui confonds application et formule, sans accepter de vraiment lire la définition d'une application (pas de formule) que j'ai donnée dès le message #2. Et du coup, tu comptes 1+1 et 2 comme deux nombres différents.

Si tu es dans le supérieur, il va falloir abandonner les idées préconçues, pour apprendre les définitions telles qu'elles sont. Sinon, tu n'as pas fini de "ne pas comprendre" puisque tu parleras d'autre chose que le sujet.

Cordialement.

[jacknicklaus]

Bonjour,

pour revenir à ta question initiale :

J'ai beaucoup de mal avec le concept de compter les applications d'un ensemble fini E dans un ensemble fini F. Je pense ne pas avoir compris ce qu'on demande.

Ce dénombrement n'a strictement rien à voir avec des "formules", concept non pertinent pour ce problème. Il a simplement à voir avec le nombre de façon où l'on peut associer chacun des éléments d'un ensemble de départ E, possédant e éléments, à des éléments d'un ensemble d'arrivée F, possédant f éléments.

Ce nombre est simplement f^e. Pour s'en convaincre, il suffit de faire un dessin avec deux patates E et F et des flèches de E vers F, et se demander combien de dessins différents on peut construire avec pour contrainte : chaque élément de E est le point de départ d'une et une seule flèche

[stefjm]

Comme quoi, quand on ne fait pas ce genre de patate en 5ième (collège), c'est difficile de les faire plus tard dans le supérieur.

[gg0]

Voir sur ce sujet le même type de problème avec le mot "fonction" (= application).