Bonsoir,
je n'arrive pas à justifier que cette fonction est continue (j'y arrive seulement pour (x+1)² en disant que c'est un polynôme).
Ensuite pour la question 2, je n'ai aucune idée de comment démontrer la dérivabilité, et de plus je ne sais pas quelle partie de la fonction dériver ( la première, la deuxième, ou bien les deux).
Pourriez-vous m'aider svp
Bonjour.
Créer un nouveau message pour remettre le même énoncé (écourté) te semblait vraiment utile ? Tu aurai pu continuer sur le premier fil (ça va donner du travail aux administrateurs.
Ton premier travail : Apprendre tes leçons. Ce devoir met en oeuvre ce que tu as eu à apprendre, le cours sur les fonctions numériques que tu as suivi ou as eu à lire. Tu y trouveras :
* La définition de la continuité en un point; les propriétés qui permettent de la prouver.
* La définition de la continuité d'une fonction sur un ensemble de points (ou au moins un intervalle) sur lequel elle est définie; des théorèmes sur les fonctions dont on sait qu'elles sont continues, sur les calculs qui conservent la continuité, voire même une liste de types de fonctions continues (tu as cité les polynômes).
Donc apprends vraiment cela, puis applique au cas de ta fonction. Cette première question est faite pour ça, pour te faire appliquer le cours.
Bon travail personnel !
NB : Tu n'as pas compris la définition de la fonction ("j'y arrive seulement pour (x+1)² en..", "je ne sais pas quelle partie de la fonction dériver". Tu confonds fonction et calcul (expression f(x)=un calcul) ? Revois ce qu'est une fonction. Puis ici, calcule f(-5), f(2), f(0).
Là, il y a a gros problème de compréhension de ce qu'est cette fonction f.Envoyé par Etudiant52
Je vais prendre 2 autres exemples
1) soit f(x) définie sur R par f(x) = 0 pour x <= 0 et f(x) = 1 pour x > 0
Les deux fonctions g et h définies sur R entier par g(x) = 0 et h(x) = 1 sont continues sur R. Pourtant la fonction f est trivialement non continue sur R. Tu vois où est le problème et pourquoi ?
2) soit f(x) définie sur R par f(x) = 0 pour x <= 0 et f(x) = x pour x > 0
Les deux fonctions g et h définies sur R entier par g(x) = 0 et h(x) = x sont continues sur R. Et la fonction f est cette fois continue sur R. Tu vois où pourrait être le problème et pourquoi finalement il n'y en a pas ?
Maintenant regarde la dérivée sur R . Tiens, bizarre, la dérivée de cette fonction ressemble comme 2 gouttes d'eau au cas traité au 1). Donc à ton avis, est-ce que cette fonction f est dérivable sur R, et si elle ne l'est pas, pourquoi ?
bon travail.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Je vous remercie de votre réponse. @jacknicklaus
Oui, je ne comprends pas cette fonction f. Je ne comprends pas pourquoi elle est égale à (x+1)² pour x<0 et à √x+1- √x pour x>=0. C'est la première fois que je me trouve face à un exercice de ce type.
Pour vos exemples:
1) "f(x) définie sur R par f(x) = 0 pour x <= 0 et f(x) = 1 pour x > 0". Je ne comprends pas pourquoi c'est possible.
g(x) et h(x) sont continues sur R alors que f(x) ne l'est pas. Je pense peut-être que le problème réside dans le fait que g et h sont définies sur R et que f est définie sur 2 intervalles différents (f(x) = 0 pour x <= 0 et f(x) = 1 pour x > 0)?
2) Je sais que le dérivée de 0 est 0 sur R.
Je sais aussi que la dérivée de x est 1 sur R. J'ai donc envie de dire que cest parceque ce sont des fonctions usuelles, mais je pense que cette justification n'est pas valable. Je ne vois donc pas vraiment quel est le problème.
Question (peut-être bête): Quand vous dites R entier et R, c'est bien le même chose?
"Je ne comprends pas pourquoi elle est égale à (x+1)² pour x<0 et à √x+1- √x pour x>=0"
Simplement parce qu'on te le dit. C'est l'énoncé.
J'ai l'impression que tu ne sais pas ce qu'est une fonction. C'est simplement un certain moyen d'associer à certains objets (les antécédents - des nombres réels dans ton cas) des objets (encore des réels ici) appelés images de telle façon qu'à un antécédent, on n'associe qu'une seule image. Dans ton exercice, l'association est : "L'image du nombre réel x est égale à (x+1)² pour x<0 et à √x+1- √x pour x>=0". C'est tout.
Tu peux voir sur ce sujet, la définition d'une application, qui est en gros un autre nom pour les fonctions. J'ai écrit la définition un peu plus formelle dans le début du message #2.
Et il ne faut pas croire qu'une fonction est un calcul à partir de l'antécédent. Il y a des tas de fonctions utiles pour lesquelles on ne sait pas écrire f(x) comme un calcul à partir de x. Par exemple, dans un dictionnaire, la fonction f qui associe à chaque entrée (mot à définir) son initiale : f(cheval) = c, f(entrée)=e, f(calcul)=c. Aucun calcul, mais, le dictionnaire étant connu, une fonction parfaitement définie.
Cordialement.
Ah ok. Tu fais une confusion qu'on a déjà rencontrée tout récemment sur ce forum, à propos de ce qu'est une application.
Cette confusion consiste à identifier une fonction avec une "formule", ou une "expression". Elle prétend, à tort, que toute fonction devrait pouvoir s'écrire sur une forme d'une unique expression f(x) = "quelquechose avec des x" qui fait intervenir la variable x, des fonctions élémentaires déjà connues et des opérateurs connus.
Genre : "quelquechose" = sin(x²) + Racine(x+1).
Or c'est faux. Tout ce qu'on demande à une fonction de R sur R, c'est d'associer un réel unique, image par f de chaque réel de son ensemble de définition. Point barre. C'est l'image de x par f qui doit être unique, pas l'expression de f(x).
Ainsi, f(x) définie sur R par f(x) = 0 pour x <= 0 et f(x) = 1 pour x > 0 est parfaitement définie sur R : elle précise quelle valeur image est associée à n'importe quel réel, et c'est tout ce qu'on exige. Le fait qu'elle soit définie en deux expressions séparées, ne pose aucun problème. Est-ce plus clair ?
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Je préfère l'écrire heaviside(x) ou (1+signe(x))/2.
Trop tard, je suis déjà sorti en courant...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
D'accord je comprends un peu mieux, pour la question 1, j'ai donc juste à prouver que les deux fonctions sont continues sur leur intervalle respectif et donc dire que f(x) est continue.
Pour la 2, est-il juste de faire comme je vous est dis précédemment, c'est à dire que f(x) est derivable car elle est composée de fonctions usuelles dont la dérivée est connue?
Non, pour la continuité.
Il faut que tu prouves que la fonction est continue en tout point de R (en tout x réel). Pour x<0, pas de problème, pour x>0, pas de problème, à chaque fois, on va pouvoir appliquer la définition, en se plaçant suffisamment proche de x pour qu'une seule écriture convienne (tu as appris la définition de fonction continue ?). mais pour 0 on ne peut pas utiliser la continuité sur ]-oo,0[ puisque 0 n'y est pas, ni la continuité sur [0,+oo[ car elle ne dit rien de ce qui se passe juste avant 0. Il va falloir étudier ce qui se passe en 0, avec des caractérisations de la continuité.
Il serait bon que tu revoies le cours sur la continuité. De près.
Tu vas avoir le même problème pour la dérivabilité en 0.
Cordialement.
On calcule la limite en 0 de (x+1)² on trouve 1.
Pareil pour la limite en 0 de √x+1 - √x (on trouve 1).
f(x) est donc continue en tout points de R...
Comment faire pour la derivabilité?
J'ai envie de dire que ce sont des fonctions usuelles donc derivables mais je pense que cette justification ne sera pas valable.
Pouvez-vous m'aider svp.
(Sans me dire d'aller regarder le cours car ça ne sert à rien de me dire ça,... Si la réponse était dans le cours je ne poserai pas la question ici.)
Dans ce cas, la réponse est là :
Pour la continuité : https://www.wolframalpha.com/input/?...%2B1%29%5E2%29
Pour la dérivée : https://www.wolframalpha.com/input/?...ivesWord%22%7D
De rien...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bon,
si le cours ne sert à rien (*), comme les explications correspondent à détailler ce qui est dans le cours, inutile de continuer. Je laisse tomber.
(*) il aurait servi au moins à rédiger sérieusement la continuité en 0; le message #10 est très insuffisant.
Dernière modification par gg0 ; 04/12/2020 à 17h05.
J'ai du mal à trouver une fonction non continue en 0, mais où les limites à droite et à gauche en 0 existent et sont identiques.
Un exemple pour palier à mon manque d'imagination?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour.
Il te suffit de prendre une fonction constante, mais non définie en 0. Mais si f est définie sur un voisinage de 0, tout dépend des définitions de limites à droite et à gauche utilisées. Avec la définition traditionnelle dans le supérieur, donc les limites sur [0,a[ et ]-a,0], si f est définie en 0, l'égalité des limites à droite et à gauche implique la continuité.
Avec les limites épointées, la condition devient
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 04/12/2020 à 17h47.
Je doit être fatigué, mais je croyais qu'on ne parlait de continuité que sur le domaine de définition de la fonction?
Parler de continuité en 0 d'une fonction non définie en 0 me parait bizarre.
Et du coup, je ne vois toujours pas ce qu'il manque au raisonnement de Etudiant52 pour prouver la continuité.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Ben ... de se référer à un théorème de son cours ou à la définition de la continuité.
Il serait dans un niveau où la continuité a été étudiée depuis longtemps, ce qu'il a écrit suffirait (on a déjà traité ça en long et en large, on peut abréger). Mais ici, par exemple, il parle de "la limite en 0 de (x+1)²" ce qui n'est pas la bonne idée.
Et j'en ai parlé surtout pour la phrase : "Sans me dire d'aller regarder le cours car ça ne sert à rien de me dire ça,... Si la réponse était dans le cours je ne poserai pas la question ici".
Les réponses aux questions ne sont pas dans le cours, mais des applications de ce qui est dans le cours. Et une preuve s'appuie sur les règles du cours, pas sur du baratin.
Bien entendu, Stefjm, si c'était toi qui écrivais, je ne ferais pas de remarque.
Très cordialement.
gg0, je ne comprends pas pourquoi vous dîtes que ce n'est pas suffisant pourriez-vous m'expliquer?
Ce que j'ai grossomodo écrit sur ma copie:
• Pour x<0, f(x)=(x+1)² est un polynome donc continu sur R car c'est la somme de produits de fonctions continues. On sait que la somme et le produit conservent la continuité donc f(x)=(x+1)² est continue sur R et donc sur R-.
Ensuite j'ai étudié la continuité en 0 (calcul de limite): j'ai trouvé 1. Donc f(x) est aussi continue en 0.
• Pour x>=0, f(x)= sqrt(x+1)-sqrt(x) est une différence de 2 fonctions continues. La différence conserve la continuité, donc f(x)=sqrt(x+1)-sqrt(x) est continue sur R+.C'est peut-être inutile ici car f(x)=(x+1)² est seulement définie sur R??(ja parle de la limite en 0)
Ensuite j'ai étudié la continuité en 0 (calcul de limite): j'ai de nouveau trouvé 1.
J'ai donc pu conclure que f(x) est continue sur tout R.
Ce que tu écris n'a pas de sens :
" Pour x<0, f(x)= ... donc f(x)=(x+1)² est continue sur R et donc sur R-."
Tu as une fonction qui n'est pas (x+1)² sur R. Tu as une fonction qui est égale à (x+1)² quand x<0 et à autre chose ailleurs !! Tu confonds f et la fonction définie sur R par x-->(x+1)², qui n'est pas f.
"j'ai étudié la continuité en 0 (calcul de limite): j'ai trouvé 1. Donc f(x) est aussi continue en 0. " Ben non, tu n'as pas prouvé que f est continue en 0. Puisque tu n'as pas utilisé la définition de f qui n'est pas la même à droite de 0 et à gauche. Tu as seulement prouvé que la limite à gauche de f est 1.
Tu ne sembles toujours pas comprendre ce qu'est cette fonction f, puisque tu utilises "Pour x<0, f(x)=(x+1)²" sans en tenir compte pas la suite.
Et tu te compliques la vie : Sur ]-oo,0[ et sur ]0,+oo[, f est la restriction de fonctions continues, donc est continue (la continuité est une notion locale). Reste à étudier la continuité en 0. Appliquer la définition n'est pas utile, tu dois avoir dans ton cours une propriété qui justifie la continuité en a à partir de la continuité à gauche et à droite de a. Ça suffit ici, et ça prend une ligne.
Mais si tu ne comprends pas ce qu'est f, si tu ne veux pas admettre la définition, difficile de t'aider. Sais-tu calculer f(-1) ? f(1/n)+f(-1/n) ?
Cordialement.
Je pense que tu as compris le raisonnement, mais que tu ne sais pas comment le rédiger proprement. Voici une trame que je te propose :
1) sur [0,+oo[, f est la restriction de fonctions continues. Elle est donc continue sur ce segment, et donc en particulier continue à droite de 0. On note que f(0) = 1.
2) sur ]-oo,0[, f est la restriction de fonctions continues. Elle est donc continue sur ce segment. Il reste à étudier la continuité à gauche de 0.
limite (pour x -> 0-) f(x) = limite (pour x -> 0-) (x²+1) = 1. Or 1 = f(0), f est donc continue à gauche de 0.
Au final, f est continue sur R.
Dernière modification par jacknicklaus ; 07/12/2020 à 13h00.
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Réponse à gg0:
Pourquoi??"Pour x<0, f(x)=(x+1)²" et "f et la fonction définie sur R- par x-->(x+1)² ce n'est pas la même chose?"
Réponse à jacknicklaus:
D'accord Merci,
est-ce que juste vous pouvez m'expliquer pourquoi on calcule la limite à gauche de 0 pour f(x)=(x+1)²? Pourquoi ne pas seulement calculer la limite en 0 tout court?
Pourriez-vous si possible aussi me définir ce qu'est une restriction mais avec des mots simples svp.
Moi ça m'évoque ça: une fonction définie sur un certain intervalle (qui associe une image à chaque antécédent de cet intervalle (f(x)=x))
Retour à la définition de la continuité "tout court" de la fonction f en 0:
comment tu fais pour choisir la bonne expression de f(x) avec seulement |x| < epsilon, donc x potentiellement positif ou négatif ? Hein ?
J'ai vraiment maintenant la même impression que gg0 : tu n'as décidément toujours pas compris ce qu'est la fonction f
Dernière modification par jacknicklaus ; 07/12/2020 à 14h23.
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D'accord c'est bon je vois mieux, mais c'est pas facile Monsieur.
Définissez moi la restriction svp
Soit f: E--->F une fonction et A une partie de E. la restriction de f à A est la fonction g de A dans F, définie, pour tout x de A, par g(x)=f(x).
.
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 07/12/2020 à 16h46.
