Construction des Entiers relatifs (Z)

[Lyrane]

Bonjour, je suis entrain d'essayer de construire l'ensemble des entiers relatifs.
Pour ceci je dispose d'un "exercice" qui me donne les étapes a faire :

***Considérons l’ensemble E = N × N. On définit dans E la relation R suivante :
∀(n, m) ∈ E, ∀(n',m') ∈ E, (n, m) R (n',m') ⇐⇒ n + m' = m + n'

1. Vérifier que la relation R est une relation d’équivalence dans E. On définit alors Z comme étant le quotient de N × N par <. Les éléments de Z sont appelés entiers relatifs.***

Pour cette première étape voilà mon avancement :

1]Pour montrer que R est une relation d'équivalence dans E,
je doit montrer les caractéristiques suivantes:

Soit m, m', m'',n ,n' ,n'' ∈ de E^6

-(1) réflexivité
-(2) symétrie
-(3) transitivité

(1) ∀ n,n',m,m' ∈ E (nRn)
posons n+m' = m+n' ; n+m' = m+n'
démonstration: ///////////////////

(2) ∀ n,n',m,m' ∈ E (nRn') ==> (n'Rn)
posons n+m' = m+n' ; m'+n = n'+m
démonstration: ///////////////////


(3) ∀ n,n',n'' ∈ E (nRn' et n'Rn'') ==> nRn''
posons n+m' = m+n'; m+n' = n''+m' donc n+m' = n''+m'
démonstration: ///////////////////

Il me reste les démonstration a faire j'aimerais savoir si mes idées sont bonnes avant de commencer a chercher.
n'hésitez pas a bien expliquer vos... explications x) Car j'ai beauc... un peu de mal avec ce genre de raisonnement.

Merci pour votre temps désolé pour les fautes.
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

je suis entrain d'essayer

en train

On définit alors Z comme étant le quotient de N × N par <.

Tu veux dire le quotient de par

(nRn)

Cette écriture n'a pas de sens, tu l'as dit toi-même (ou ton énoncé), est une relation dans , pas dans


Cordialement

[Lyrane]

Bonsoir, merci pour la correction.
C'est bien N que je voulais exprimer. comprendre N l'ensemble N je n'arrive pas a bien l'écrire...
Aussi n est une variable a ne pas confondre avec N
Ou peut-être veut tu dire autre chose ? J'ai posé mes variables dans E (donc dans NxN)

[PlaneteF]

Je crois que tu ne saisis pas bien :

De par sa définition, la relation ne met pas en relation des entiers naturels, mais des couples d'entiers naturels.

Donc l'écriture n'a pas de sens

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lyrane]

Ah je pense avoir compris il faudrait donc pour le cas (1) ((n,m)R(n,m))

[PlaneteF]

Ah je pense avoir compris il faudrait donc pour le cas (1) ((n,m)R(n,m))

Oui, ... et la démonstration est triviale

[Lyrane]

Ok merci, je vais faire ça demain ! merci pour ton éclairage.

[Lyrane]

Bonsoir, me revoila avec la suite de mes avancé (pour être honnête je ne suis pas sur d'avoir réellement avancé) Voici cependant mes démonstrations :
(Je sens que quelque chose va mal dans ma manière d'avoir démontré, je montre tout de même mes idées, si vous avez de quoi m'éclairer je prend)

(1) ∀ n,n',m,m' ∈ E ((n,m)R(n,m))
posons n+m' = m+n'
démonstration: (n,m) = (n,m) donc E est bien réflexive.

(2) ∀ n,n',m,m' ∈ E ((n,m)R(n',m')) ==> ((n',m')R(n,m))
posons n+m' = m+n'
démonstration: Si (n,m) = (n',m') alors, (n',m') = (n,m)
E est bien symètrique.

(3) ∀ n,n',n'' ∈ E ((n,m)R(n',m') et (n',m')R(n'',m'')) ==> (n,m)R(n'',m'')
posons n+m' = m+n'
démonstration: Si (n,m) = (n',m') = (n'',m'') Alors, (n,m) = (n'',m'')
E est bien transitive

[gg0]

Désolé,

mais je ne comprends rien à ton 1).

Tu dis "posons n+m' = m+n' " Qui sont m,n,m' et n' ? Et quel rapport avec la question ?
Puis "(n,m) = (n,m) donc E est bien réflexive." ?? Comme (n,m)=(n,m) dans tous les cas, toute relation R est réflexive ??? Tu n'utilises pas la définition de R !!
C'est une imitation de raisonnement écrit, mais il n'y a pas de raisonnement.

As-tu au moins décodé ce que signifie "(n,m)R(n,m)" ? En utilisant, évidemment, la définition de R.

Le reste est de la même eau : du baratin puis la conclusion, sans lien avec le baratin.

Cordialement.

[Lyrane]

Merci de ta réponse g00,

je vais tenté de t'expliquer mon raisonnement :
le "posons n+m' = m+n' " est un rappel (pour moi même surtout) de ce qu'on nous dit plus haut càd :
∀(n, m) ∈ E, ∀(n',m') ∈ E, (n, m) R (n',m') ⇐⇒ n + m' = m + n'

comme je traite des couples j'utilise (comme me la conseillé PlaneteF) (n,m)
je pourrait très bien marquer xRy.

donc pour la réflexivité selon ma compréhension c'est xRx donc dans le cas de
n+m' = m+n' (dans ma tête je transforme chaque partie de l'égalité en x et y)
je trouve donc en replaçant x par (n,m), (n,m)R(n,m) donc (n,m) = (n,m)

Voila comment j'ai procédé j'espère que mes explications vont vous permettre de mieux voir ou je me plante lourdement.

Merci pour votre temps pardon pour les fautes.

[PlaneteF]

Bonsoir,

je trouve donc en replaçant x par (n,m), (n,m)R(n,m) donc (n,m) = (n,m)

... Totalement incompréhensible, ce qu'il y a en citation, et tout le reste d'ailleurs.

Par définition, à quoi est équivalent ?

Et ce à quoi c'est équivalent, est-ce vérifié pout tout entier et ? ... Oui ? Non ? ... Si oui, est réflexive, sinon n'est pas réflexive

Cordialement

[Lyrane]

Bonsoir PlaneteF,
en utilisant l'énoncé,
(n,m)R(n,m) est équivalent a n+m' = n+m' ?

quoi qu'il en soit merci pour ton temps

[PlaneteF]

(n,m)R(n,m) est équivalent a n+m' = n+m' ?

?? ... Il n'y a pas de à gauche de ton équivalence, ... et on ne sait pas par quelle magie il apparaît à droite

[Lyrane]

j'utilise ce qui est dit au début de l'énoncé :
∀(n, m) ∈ E, ∀(n',m') ∈ E, (n, m) R (n',m') ⇐⇒ n + m' = m + n'

edit : oui donc finalement je me rend compte que ça ne signifie pas que m = m'
donc une bonne réponse serait (n,m)R(n,m) équivalent a (n,m) = (n,m) ?

[PlaneteF]

De toute évidence tu ne comprends pas du tout la définition de la relation

On va se la jouer autrement ...

Par définition :

(1er entier naturel, 2e entier naturel) R (3e entier naturel, 4e entier naturel)

si et seulement si

1er entier naturel + 4e entier naturel = 2e entier naturel + 3e entier naturel


Questions :

Compte tenu de cette définition, est-ce que :

(2,9) R (3, 1) ... oui, non ?

(2, 9) R (3, 10) ... oui, non ?

(n, m) R (n, m) ... oui, non ?

[Lyrane]

Ok merci d'avoir prit le temps de me donner un exemple concrets,

(1) Non
(2) Oui
(3) On a n+m = m+n donc Oui

[PlaneteF]

Ok merci d'avoir prit le temps de me donner un exemple concrets,

(1) Non
(2) Oui
(3) On a n+m = m+n donc Oui

[Lyrane]

En appliquant au autres caractéristique j'ai donc :
(1) ∀ n,m ∈ E ((n,m)R(n,m))
On a n+m = m+n


(2) ∀ n,n',m,m' ∈ E ((n,m)R(n',m')) ==> ((n',m')R(n,m))
On a n+m' = m+n' ==> n'+m = m'+n


(3) ∀ n,n',n'', m, m', m'' ∈ E ((n,m)R(n',m') et (n',m')R(n'',m'')) ==> (n,m)R(n'',m'')
n+m' = m+n' et n'+m'' = m'+n'' ==> n+m'' = m+n''

les démonstration sont instantanées pour (1) et (2), la (3) découle des précédentes...
Suis-je sur la bonne voie ? (finalement)

Merci pour votre aide précieuse

[PlaneteF]

les démonstration sont instantanées pour (1) et (2), la (3) découle des précédentes...

... Non, ... en quoi (3) découlerait de (1) et (2) ?

Tu supposes que :



et



A partir de là, c'est pas très compliqué de démontrer que

[Lyrane]

voici un essai : on a n = m+n'-m' ; m''=m'+n''-n'
n+m'' = m+n'-m'+m'+n''-n'
n+m'' = m+n''

je retombe sur mes pattes mais j'utilise la soustraction ce qui me rend plus que perplexe...

[PlaneteF]

Tu peux partir de :



Tu ajoutes ' aux deux membres

Puis tu utilises

Tu utilise la règle de simplification

Et tu tombes bien sur

[Lyrane]

n+m'=m+n'
m''+n+m'=m''+m+n'

or n'+m'' = m'+n''

donc m''+n+m'=m'+n''+m en retirant m' de chaque côté on obtient
n+m''=m+n''

[PlaneteF]

... oui ...

[Lyrane]

Merci beaucoup pour ton aide ! je vais créer un autre topic pour plus de clarté sur la suite du problème.