Polynôme scindé, relations entre coefficients et racines

[invite9d2f10c3]

Bonsoir,

Je rencontre des difficultés pour l'exercice suivant. Cela fait de longues heures que je passe dessus. En soi, l'exercice ne me semble pas très compliqué mais clairement, je bloque au niveau technique.

Voici l'exercice:

Soit a,b,c, les racines complexes du polynôme X^3 + pX^2 + qX + r (r non nul). Calculer a^n +b^n +c^n sachant que n appartient à l'ensemble {2, 3, 4, -1, -2}.

Pas de problème pour n = 2. Je tombe sur p^2 -2q. Par contre, pour n = 3 et n = 4, je bloque.
pour n = 3, je suis parti de (a + b + c)^3 = -p^3.
J'ai développé le terme de gauche. Je tombe sur -p^3 -6r plus une somme assez infâme multiplié par 3. Je pense qu'il y a une factorisation dans cette somme que je ne vois pas. Je n'arrive pas à avancer. -p^3 a l'ai clairement juste mais pour le reste...
Autant vous dire que pour le degré 4, rien que d'y penser, cela m'effraie.

Pouvez-vous m'éclairer ?
A plus.
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[jacknicklaus]

comme a b et c sont les 3 racines du polynôme, tu as P(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x³ +px² + qx + r
soit :
a+b+c = -p
ab+bc+ca = q
abc = -r

il te reste à exprimer a³ + b³ + c³ en fonction de S1 = a+b+c; S2 = ab+bc+ca; S3 = abc
C'est un peu calculatoire, mais sans problème. commence pas calculer (a+b+c)³ et isole ou regroupe astucieusement les termes.

voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%...ym%C3%A9trique

[invite23cdddab]

J'aurai tendance à vouloir partir du fait que . Ça implique que



Ce qui te donne le résultat si tu connais a+b+c et a²+b²+c²

Pour , tu peux utiliser le même principe, en écrivant que c'est égal à

[invite9d2f10c3]

Oui, c'est bien ce que j'ai fait jacknicklaus ! Mais c'est justement sur le regroupement astucieux que je bloque. En gros, j'obtiens:

a^3 + b^3 + c^3 + 3((a^2b) + (a^2)c + (b^2)c + a(b^2) + a(c^2)+ b(c^2)) + 6abc = -p^3

Je suis bien parti de (a + b + c)^3 = -p^3 mais je n'arrive pas à avancer.
6abc vaut -6r mais je galère sur la somme: (a^2b) + (a^2)c + (b^2)c + a(b^2) + a(c^2)+ b(c^2)

Est-ce que déjà vous avez le même développement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

faut se débrouiller pour faire rentrer le maximum de termes dans 3(a+b+c)(ab+bc+ac). et ajouter ou retrancher ce qui rentre pas

[invite23cdddab]

Ma technique ne te plait pas? Surtout si tu connais a+b+c et a²+b²+c², il n'y a pratiquement aucun calcul à effectuer.

De façon générale, si on note , on obtient facilement une relation de récurrence :

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Tu connais et et c'est alors trivial de calculer mais aussi ou