Ensemble fini

[invite21e95de9]

Bonjour,
excusez-moi, est ce que quelqu'un sait comment montrer que le sous-ensemble d'un ensemble fini est fini?
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[gg0]

Bonjour.

Tout dépend de la définition de "ensemble fini". Quelle est la tienne ?

Cordialement.

[invite21e95de9]

un ensemble qui contient un nombre fini d'éléments, comme le nombre d'élèves dans une classe par exemple, ou juste S={1;4;5:7;12;52;89;10} par exemple
comment montrer de manière générale?

[gg0]

Et c'est quoi "un nombre fini d'éléments" ?

Si tu n'as pas de définition précise de "ensemble fini", la réponse à ta question est "c'est évident", puisqu'on est dans l'intuitif. A toi de savoir ce que tu veux ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite21e95de9]

si f est une bijection de R vers E qui à {1, 2, · · · , n} fait correspondre f(1) f(2)...f(n)
alors , E = {f(1), f(2), · · · , f(n)} compte n éléments et nous dirons que E est fini
maintenant comment prouver qu'un sous ensemble quelconque de E est fini également?
est ce que en disant par exemple que S, sous ensemble de E est inclus dans E, et est également bijectif en plus cardinal de E(n)>cardinal de S(m), et donc pour chaque la bijection g : {1,2...m} fera correspondre g(1) g(2)..g(m), et donc fini (m éléments) ...c'est correct?

[gg0]

Donc tu prends comme définition :
Un ensemble est fini si et seulement si il existe une bijection entre cet ensemble et un segment [1,n] de l'ensemble des entiers.
OK.
Soit donc E un ensemble fini. Il existe une bijection f entre E et une segment [1,n]={1,2, ...n}.
Puis prenons une partie S de E, et montrons qu'elle est finie. Tiens! prenons un exemple, pour bien voir : , l'ensemble vide. peux-tu nous dire avec quel segment [1,n] S est en bijection ?

Plus généralement, comme ta définition est basée sur l'opération de comptage, je t'invite à regarder comment tu comptes le nombre d'éléments de E={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}, puis le nombre d'éléments de S, le sous ensemble des éléments en caractères gras.
Et je te conseille aussi de faire attention à ce que tu racontes, aligner des mots mathématiques ne fait pas une phrase compréhensible : "S, sous ensemble de E est inclus dans E, et est également bijectif " !!! C'est quoi, un sous-ensemble bijectif ? Tout ton paragraphe qui contient cette "phrase" est seulement du baratin, il n'y a pas essai de preuve, juste manipulation d'arguments pris parce que tu penses qu'ils pourraient servir sans que tu saches comment. Tu ne convaincras personne ainsi.

Je vois aussi que tu parles de cardinal, et du fait que card(S) est inférieur à card(E). C'est un théorème de ton cours ? Tu as un cours sur la théorie des ensembles ?

Cordialement.

[invite21e95de9]

oui pour moi ensemble fini est lié avec comptage, si on ne sait pas dire combien il y'a dans E ben c'est pas fini. pour l'ensemble vide je ne sais pas. "je t'invite à regarder comment tu comptes le nombre d'éléments de E={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}", pour moi je prend f qui va de N={1,2,....9} à E et qui à f(1) associe a, f(2) associe b... et f bijectif.
"S, sous ensemble de E est inclus dans E, et est également bijectif " je pense que un sous ensemble c'est aussi un ensemble, et donc ça peut être bijectif non ?
je ne sais pas grand chose sur la théorie des ensembles, ce que j'ai écris j'ai jamais dit que c'était correct, et si je connaissais j'allais pas demander de l'aide.

[gg0]

Oui, effectivement,

mais si tu ne connais pas le sens des mots que tu emploies, tu ne parles pas, tu fais le perroquet !

Donc revenons à ta question initiale : Pourquoi la poses-tu ?
* comme ça ! Alors aucun intérêt, c'est intuitivement évident; pas besoin de démonstration (une démonstration c'est une procédure mathématique spécialisée, ça demande des connaissances particulières).
* parce qu'on m'a posé l'exercice suite à une formation : alors il va falloir utiliser ce qui a été donné dans la formation. Et en général, si on parle d'ensembles, on est supposé connaître ce que veut dire bijection. Précisément.
* autre raison ...

Donc en fonction de ce que tu veux faire on verra à aller plus loin. Pour l'instant, inutile d'écrire des choses dont tu ne connais pas la signification. Reste sur des phrases que tu comprends parfaitement. On peut aller loin avec, et apprendre progressivement le vocabulaire utile.

Cordialement.

[invite21e95de9]

c'est une question qui m'a été posé lors d'un examen et je n'ai pas su répondre(je m'étais basé sur la notion de sup et d'inf , mais ce n'était pas suffisant pour conclure), maintenant je retravaille cet examen.
une partie de mon premier chapitre d'analyse réelle parle d'ensemble fini, infini demonstrable ..., ceci dans le but d'introduire les suites de nombres réels au chapitre 2.
et pour moi bijectif que chaque antécédant à une seul image.

[gg0]

Il serait bon que tu apprennes vraiment ton cours, en faisant attention aux significations des mots (et éventuellement à leur étymologie). Ce n'est pas le cas, le fait que tu écrives "infini demonstrable " pour "infini dénombrable" (*) en est une preuve éclatante. Et ta signification de "bijectif" est elle aussi inacceptable (tu as donné la définition de "fonction" !!! Tant que tu resteras dans un vocabulaire flou, tu perdras ton temps (et loin des exigences de ton examen.
Par exemple bijectif concerne les fonction (ou applications) : Soient E et F deux ensembles; une fonction de E vers F, définie sur tout E, est bijective si et seulement si tout élément de F est l'image d'un élément de E et d'un seul.
Tu dois connaître et comprendre cette définition, sans oublier quoi que ce soit, tous les mots comptent.

Ton examen a un programme, à toi de l'apprendre. Puis tu essaiera de démontrer qu'une partie d'un ensemble fini est elle aussi un ensemble fini. Et tu pourras revenir ici si tu bloques. Avec un début de démonstration cohérent.

Cordialement.

(*) du verbe "dénombrer", qui veut dire compter. On peut compter les ensembles infinis dénombrables avec l'ensemble des entiers.