structure algebrique ensemble fini

[invite528c70c1]

bonjour

salut tout le monde voila je bloque dans cet exercice

soit T une loi de CI dans un ensemble E fini associatif montrer qu'il existe un élément tel que eTe=e

j'ai suppose que card(E)=n et que pour tout x de E : xTx diffèrent de x

j'ai aussi monter : xTx=y et yTx=x => yT(xTx)=yTy

=>(yTx)Tx=yTy => xTx=yTy => y=yTy ce qui est absurde selon la supposition. Ce que je n'arrive pas a demontrer c'est s'il existe au moins deux elements de E qui pourraient satisfaire la supposition et si ma démarche est juste. j'aimerais aussi que vous me donnier quelques pistes pour continuer
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[invite4ef352d8]

Salut !

considère les puissances succesive d'un element x^n=xTxT....Tx (n fois)

c'est une suite d'element, elle ne peut donc pas être injective, tu as donc deux entier p et q tel que x^p=x^q avec q>p.

soit n un entier tel que n.(q-p) > p, alors y=x^(n(q-p)) est l'élèment que tu cherche, en effet y=x^(n(q-p)) =x^(n(q-p)-p) T x^p = x^(n(q-p)-p)Tx^q = x^(n(q-p)-p+q)=y T x^(q-p)

en itérant n fois le processus on trouve que y=yTx^(n(q-p))=yTy