Espace vectoriel

[invite72483f78]

Bonjour à tous.

Voici un exercice dit "simple" par mon professeur mais dont les notions m'échappent. Ainsi, j'aimerais votre aide pour y voir un peu plus clair :

Soient 3 vecteurs :u=(1,1,1), v=(1,-1,1) et w=(a,b,c).
J'ai démontré dans quelle condition ils étaient linéairement indépendants.(a=/ c)
Néanmoins, par la suite, je dois déterminer le vecteur w pour que (u,v,w) forme une base de R3.
Je ne sais quelle est la méthode pour démontrer que c'est une base. Pourriez-vous m'indiquer comment débuter?? Merci par avance.
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[sebsheep]

Une base est une famille de vecteurs libres et génératrice.

Ici, tu es dans R3, donc toute famille libre de 3 vecteurs est génératrice(R3 est de dimension 3). Ne peux tu pas trouver une famille de 3 vecteurs libres ?

[invite72483f78]

Ainsi, si je comprends, il faut que je trouve x,y,z tel que xu+yv+zw=0 implique que x=y=z=0 ? (=famille libre ?)
Néanmoins, comment faire ?

[sebsheep]

Revoie ta définition : il faut trouver u,v,w tq xu+yv+zw=0 implique que x=y=z=0 pour x,y,z dans R.

Tu as déjà u et v, et la 1ere question te demande à quelle condition sur w (u,v,w ) est libre. Tu n'as plus qu'à trouver un vecteur w qui satisfait la condition (il y a une infinité de choix possibles, prends un)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite72483f78]

D'accord, avec cette définition je prouve que la famille est libre. Mais quant n'est-il de prouver que la famille est génératrice ? Ai-je simplement à dire que j'ai trois vecteurs dans R3 ??

[invite72483f78]

J'ai trouvé w=(1,0,0), est-ce juste ?

[invite2b608ad1]

Soit E un espace vectoriel et L une famille non vide de E on a les équivalences :
1. L est une base de E
2. L est une famille libre maximale
3. L est une famille génératrice minimale

Dans le cas de une famille libre maximale comporte 3 vecteurs (car si une famille de 4 vecteurs de ne peut être libre). Donc montrer que ta famille de 3 vecteurs de est libre suffit à montrer que c'est une base.

[invite2b608ad1]

Je ne crois pas que (1,0,0) marche. En revanche le meilleur moyen de trouver est d'échelonner la matrice ayant u,v,w pour colonne :

Donc on voit tout de suite qu'avec et on obtient facilement la matrice identité ensuite (c'est-à-dire que le système aura une unique solution donc ta famille est libre).
Donc par exemple marche.

[invite72483f78]

Ainsi, grâce à votre matrice, le fait que a doive être différent de c me saute au yeux. En effet, les vecteurs ne doivent pas être égaux à zéro donc a doit être différent de c.
Par contre, je ne comprends pas pourquoi vous posez a=b ? Comment pensez vous à faire cela ?

[invite2b608ad1]

Ma méthode aide à trouver a,b et c mais ensuite on doit montrer proprement que c'est une base. Donc je prend a=b et c=a+1 parce que ça me semble astucieux, en effet pour n'importe quel valeurs de a j'obtiens la matrice :

C'est-à-dire qu'ensuite je n'ai plus qu'a retirer a fois la ligne 3 à la ligne 1 et à multiplier la ligne 2 par (-1/2) puis retirer la ligne 2 à la ligne 1 pour obtenir l'identité.

[sebsheep]

J'ai trouvé w=(1,0,0), est-ce juste ?

Oui, c'est bon. Tu peux le vérifier en calculant le déterminant de (u,v,w), ou à la main.

La méthode d'Adrien marche, mais ici, tu pouvais te contenter de faire comme tu as fait, c'est à dire prendre un vecteur "le plus simple possible".