Structure algébrique

[inviteec33ac08]

Bonjour, en relisant mon cours de sup de cette année je me suis rendu compte que je ne savais plus du tout ce qu'est un espace vectoriel, un groupe, corps, anneau... En fait je veux dire par la que je n'arrive pas à "voir" ce que c'est vraiment je connais à peu près les définitions mais pour voir ce que c'est je n'y arrive pas par exemple j'aurai aimais savoir la différence entre un groupe et une fonction. Je m'explique prenons le groupe (R, +) quel est la différence entre ce groupe est la fonction
f: R2->R
(x,y)|->x+y

Merci de votre aide =)
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[invite4ef352d8]

Ba dans groupe la fonction doit être de G*G->G (et pas entre deux ensembles quelconque) associative, admettre un element neutre et tout element doit avoir un inverse...

concrètement ce sont les seuls différences.

d'un point de vue un peu plus 'naif' (plus naturel aussi ^^) il y a aussi le fait que quand on parle de groupe on voit un ensemble dont on sait ajouter les élèments et que cette addition ce comporte "bien", alors que quand on parle de fonction on voit un truc qui prend des elements dans un ensemble et qui en fait des elements d'un autre ensemble, ce qui tu l'admettra na plus rien à voir ^^

[Médiat]

Pour compléter la réponse de Ksilver, lorsque l'on définit un langage dans lequel on va exprimer des axiomes, les éléments de langages possibles sont (et encore on peut simplifier) :
1) des constantes
2) des relations
3) des fonctions

Une loi de composition interne, comme celle qui permet d'axiomatiser un groupe est juste une fonction binaire (on pourrait aussi dire qu'il s'agit d'une relation ternaire, mais il faudrait ajouter des axiomes) à partir de là on peut ajouter des axiomes pour définir différentes structures (magma, monoïde, demi-groupe etc.).

Ben sur, toutes les fonctions ne sont pas des LCI.

[inviteec33ac08]

D'accord merci de m'éclairer mais Ksilver tu dis que "la fonction doit être de G*G->G (et pas entre deux ensembles quelconque) associative, admettre un element neutre et tout element doit avoir un inverse..." parfois je vois dans certaines définitions d'un groupe que G par exemple doit être stable par + dans les propriétés que tu donne laquelle montre la stabilité implicitement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

D'accord merci de m'éclairer mais Ksilver tu dis que "la fonction doit être de G*G->G (et pas entre deux ensembles quelconque) associative, admettre un element neutre et tout element doit avoir un inverse..." parfois je vois dans certaines définitions d'un groupe que G par exemple doit être stable par + dans les propriétés que tu donne laquelle montre la stabilité implicitement ?

Le fait que c'est une fonction !

[invite4ef352d8]

Tu confond un peu "groupe" et "sous groupe" là.

un groupe on a une fonction G*G->G donc c'est automatiquement 'stable' (en fait la notion n'as aucun interet ici) puisque la loi est à valuer dans G.

la ou la notion de stabilité a un interet c'est quand on considère un sous ensemble H de G, pour que H soit un sous groupe de G il faut que la loi de G*G->G induise une loi H*H->H c'est a dire que H soit stable par la loi de G : (h+h' soit être un element de H...).

[inviteec33ac08]

ok merci ben j'ai compris et les espaces vectoriels et les corps comment peut on se les imaginer ? Merci pour explications

[invite4ef352d8]

un corps (commutatif) c'est un ensemble pour lequel tu sais ajouter et multiplier les elements (qui admet un element 0 et un element 1) de facon a ce que toutes les régles de calcule usuelle soit vérifier comme pour des nombres réels, et tel que tout element different de 0 ai un inverse. les exemple classique sont R,Q,C. (et Z/pZ si tu sais ce que c'est)


un k-espace vectorielle c'est un groupe commutatif dont on sait multiplier les elements par des element du corps k (et tous ceci vérifiant les régles de calcule usuelle). ex, k et k^n sont des k espaces vectoriel, l'ensembles des fonction continu de [0,1]->R et un R-espace vectoriel.


pour savoir ce que veut dire précisement "régle de calcule" usuelle je te renvoi à la définition précise de ces structures que tu as vu en cours ^^

[invitebe0cd90e]

Salut,

Je m'excuse par avance auprès de Mediat pour ce que je vais dire

Un groupe et une fonction sont deux objets mathématiques de "nature" tres tres differente. Il se trouve seulement que la definition de la notion de groupe fait intervenir une (en fait implicitement des) "fonctions" ou plutot une application.

Mais essentiellement, un groupe, un corps, un anneau, c'est d'abord un ensemble de choses, mais avec des "trucs en plus". Par exemple si tu prends l'ensemble des entiers, . C'est bien beau de pouvoir le définir, tout ca, mais tu as envie de pouvoir faire des calculs avec, tu sais que tu peux additionner et soustraire des entiers. C'est bien grace a ca que les entiers sont utiles. Ca, ca te dit que n'est pas "juste" un ensemble, mais que c'est quelque chose de mieux, c'est un groupe pour la loi +, et puisque c'est un groupe tu peux faire des calculs avec les entiers.

Tout ceci reste vrai pour les autres structures : ce sont des ensembles avec de la "structure en plus", d'ou le nom de structure algebrique. Evidemment, ces definitions ne sont pas choisies au hasard, mais basée sur des "modeles" qu'on connait et qu'on aimerait bien généraliser. Moralement :
- la notion de groupe vient de la notion "d'ensemble de transformations". Les exemples typiques sont donc : le groupe symetrique, le groupe linéaire, etc. L'exemple de groupe qui a servi a imaginer la definition de la notion de groupe c'est vraiment ca : des ensembles de transformations, inversibles, d'un ou de plusieurs objets mathematiques, avec comme loi la loi de composition.
- la notion d'anneau, historiquement, a été introduite pour generaliser , c'est pour ca qu'on le definit comme un ensemble ou on peut additionner, soustraire, multiplier mais pas forcement diviser.
- les corps bien evidemment generalisent ceux que tu connais, , , . Attention, tous ces exemples sont infinis, mais les corps finis sont egalement interressants. Par rapport aux anneaux, tu ajoutes le fait que tu as le "droit" de diviser par tout element non nul.
- enfin, la notion d'espace vectoriel est la plus intuitive : c'est l'espace autour de toi ! Si tu choisis une origine, tout point de l'espace peut etre atteint par un vecteur partant de cette origine, l'addition des vecteurs est celle que tu connais depuis le college/lycée, mutliplier un vecteur par un nombre revient a l'aggrandir/le retrecir, voire le faire changer de sens si le nombre est negatif, etc.. Sauf que ca generalise ca en dimension quelconque.

Vraiment, ne crois pas que ce sont des axiomes "parachutés" comme ca, ils ont une vraie raison d'etre tels qu'ils sont.

[Médiat]

Un groupe et une fonction sont deux objets mathématiques de "nature" tres tres differente.

Ben non puisque ce sont tous les deux des ensembles . Ceci établi, je disais juste que la LCI est une fonction.

C'est bien beau de pouvoir le définir, tout ca, mais tu as envie de pouvoir faire des calculs avec, tu sais que tu peux additionner et soustraire des entiers.

Tout cela peut se définir avec le vocabulaire des applications (en théorie des ensembles fonctions et applications, c'est pareil).
Il n'y a pas grande différence à écrire :

ou

D'ailleurs en baptisant plus intelligemment ma fonction, j'aurais pu écrire :

Notation qui reste valable quelque soit le nombre d'arguments (et bien pratique pour écrire des programmes comme des parsers, mais moins pratique dans certains autres cas).

[invitebe0cd90e]

Ben non puisque ce sont tous les deux des ensembles .

Je sais, cher collègue, bien pour ca que j'ai pris la peine de m'excuser par avance de l'approche bassement pragmatique et resolument non-bourbakiste de mon message

Tout cela peut se définir avec le vocabulaire des applications (en théorie des ensembles fonctions et applications, c'est pareil).[...]

Oui, note que j'ai bien précisé dans mon message :

Il se trouve seulement que la definition de la notion de groupe fait intervenir une (en fait implicitement des) "fonctions" ou plutot une application.

En sous entendant que non seulement la multiplication mais aussi l'inversion, l'élément neutre peuvent etre "pensés" comme etant des applications. Ca ne change rien au fait que "concretement" un groupe "n'est pas" une application, mais plutot un k-uplet contenant un ensemble et des applications (donc des ensembles, je sais ) le tout avec une serie d'axiomes.

Evidemment queje suis d'accord qu'un groupe est en particulier un ensemble, mais je pense que cette idée qu'une structure algebrique est un ensemble "avec de la structure en plus qui permet de faire effectivement des choses" est la bonne facon de voir la chose, et qu'elle est finalement coherente avec un point de vue purement logique (en ce sens qu'un groupe est a la fois un element d'un modele de ZFC et un modele de la theorie des groupes, alors qu'un ensemble est seulement un element d'un modele de ZFC ). Quant a savoir si tout ceci aide un(e) élève de Sup à y voir plus clair ..

[Médiat]

Evidemment queje suis d'accord qu'un groupe est en particulier un ensemble, mais je pense que cette idée qu'une structure algebrique est un ensemble "avec de la structure en plus qui permet de faire effectivement des choses" est la bonne facon de voir la chose, et qu'elle est finalement coherente avec un point de vue purement logique (en ce sens qu'un groupe est a la fois un element d'un modele de ZFC et un modele de la theorie des groupes, alors qu'un ensemble est seulement un element d'un modele de ZFC ).

Attention, ce qui suit, peut créer des confusions au lieu de rendre les choses plus claires.

Je ne disais pas qu'un groupe, c'est, en particulier, un ensemble, mais que c'est un ensemble : Si (G, +) est un groupe dans le sens G est un ensemble et + une loi de composition interne sur G avec les propriétés idoines, cela veut dire que + est une fonction de G² dans G, c'est à dire un sous ensemble de G³, donc un ensemble, (G, +) est un couple d'ensembles, donc un ensemble, et ici, il est clair que je ne parle pas exclusivement de l'ensemble "sous-jacent".

Ceci étant dit, ma façon habituelle de voir est effectivemnt la vision "théorie des modèles". Dans ma première intervention, je disais juste que la LCI est une fonction.

J'espère qu'aucun élève de sup n'est arrivé à lire cette ligne, après avoir lu les autres