Facteurs premiers

[TheaGracias]

Bonjour à tous.
Tout entier positif peut s'écrire comme un produit de facteurs premiers selon EULER. Il a démontré ce theoreme?
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[albanxiii]

Bonjour,

Euler, je ne sais pas, parce que c'était connu déjà bien avant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...thm%C3%A9tique

[TheaGracias]

Cela a été démontré ou c'était juste une intuition.

[pm42]

Cela a été démontré ou c'était juste une intuition.

Je suppose qu'il manque un point d'interrogation ? Parce que la réponse est dans le lien donné. C'était connu mais on n'a de trace de démonstration qu'à partir de Gauss.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Heu ... c'est un résultat connu et démontré depuis environ 2000 ans avant Euler. C'est d'ailleurs ce que dit Wikipédia. Simplement, la formulation est différente. Mais les anciens grecs savaient très bien que 54 = 2*3*3*3 et que cette décomposition était unique.

Donc pour Euler, il s'agissait de présenter à sa façon un théorème parfaitement connu de tout mathématicien de son époque, dans une organisation des théorèmes qui soit efficace.

Cordialement.

[pm42]

Heu ... c'est un résultat connu et démontré depuis environ 2000 ans avant Euler. C'est d'ailleurs ce que dit Wikipédia.

Sauf erreur, Wikipedia renvoie vers Bourbaki, Algèbre, chapitre 7 qui dit que :

on peut encore remarquer que la démonstration du théorème
sur les nombres parfaits n'est au fond qu'un autre cas particulier du théorème d'unique
décomposition en facteurs premiers. D'ailleurs, tous les témoignages concordent pour prouver
que dès cette époque la décomposition d'un nombre explicité en facteurs premiers était connue
et utilisée couramment ; mais on ne trouve pas de démonstration complète du théorème de
décomposition avant celle donnée par Gauss au début des Disquisitiones ((VIII), t. 1, p. 15).

Le résultat était connu, il est plus que probable qu'il ait été démontré mais apparemment, on n'en a pas de trace ancienne s'il faut les croire.

[gg0]

Vue la rigueur mathématique des anciens grecs, il n'y a aucune raison qu'ils n'aient pas eu des démonstrations. Mais "on n'en trouve pas". Comme on ne trouve pas les écrits de la plupart des penseurs de cette époque. L'un des principaux lieux de conservation, la bibliothèque d'Alexandrie, a entièrement brulé.
Bourbaki s'intéresse à des démonstrations au sens moderne, mais de la même façon, on peut considérer la preuve de Gauss comme incomplète, puisqu'il ne disposait pas d'une axiomatique correcte des entiers. C'est une façon de nier l'histoire.

Cordialement.

[TheaGracias]

Puis je savoir où trouver la démonstration détaillée qui indique que tout entier positif non premier est un produit unique de facteur premier?

[pm42]

Puis je savoir où trouver la démonstration détaillée qui indique que tout entier positif non premier est un produit unique de facteur premier?

Le lien donné plus haut ne te convient pas ?

[TheaGracias]

Ok je comprends. Je n'avais pas preté attention lors de la lecture. Cependant j'ai l'impression que la démonstration est basée sur une suite de supposition(existence).

[pm42]

Cependant j'ai l'impression que la démonstration est basée sur une suite de supposition(existence).

Il faudrait être plus précis sur les endroits qui te donnent cette impression.

[TheaGracias]

n=p(n/p)=pn'=p.p'(n'/p')=... avec p divisant n ,p' divisant n', ainsi de suite . C'est une supposition il me semble non? Est il possible qu'un nombre soit premier avec lui même?

[jiherve]

bonjour
la définition d'un nombre premier c'est qu'il n'est divisible que par 1 (trivial) et par lui même(çà c'est plus compliqué).
JR

[TheaGracias]

Je revois un peu le lemme de Gauss si a divisé b.c et que a est premier avec b alors a divise c. Prenons 8=2*4 =b*c respectivement et a=2. Le nombre a divisé bien le produit mais a n'est ni premier avec b ni c. Plus aller plus loin imaginons qu'un nombre s'écrive n=2(n/2) selon l'hypothèse de la démonstration d'un nombre en produit de facteur premier.comment appliquer le lemme de Gauss?

[pm42]

Je revois un peu le lemme de Gauss si a divisé b.c et que a est premier avec b alors a divise c. Prenons 8=2*4 =b*c respectivement et a=2. Le nombre a divisé bien le produit mais a n'est ni premier avec b ni c.

Personne n'a dit que si a divise b * c, alors a doit être premier avec b ou c. Tu prends une réciproque du lemme de Gauss, pas le lemme lui même.

[TheaGracias]

C'est ce que j'ai lu du lien situé plus haut dans le 2eme message. Puis je savoir quel est le lemme de Gauss s'il vous plait?

[pm42]

Puis je savoir quel est le lemme de Gauss s'il vous plait?

Tu l'as cité dans ton message #14 plus haut non ? J'ai un peu de mal à te suivre.

[TheaGracias]

Je veux dire que je n'arrive pas à comprendre ce lemme Gauss qui généralise le lemme d'Euclide . Je veux savoir entre les deux qu'est ce qui est plus générale?
Par rapport aussi à la décomposition en facteur premier est ce que je me trompe sur le terme de supposition car chaque étape on suppose un p premier qui divise un n entier positif.?

[pm42]

Je veux dire que je n'arrive pas à comprendre ce lemme Gauss qui généralise le lemme d'Euclide . Je veux savoir entre les deux qu'est ce qui est plus générale?

Là aussi, j'ai vraiment du mal à te suivre : tu dis que le lemme de Gauss généralise le lemme d'Euclide et après tu demandes lequel est le plus général ?
Au passage, l'information est ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_d%27Euclide

[TheaGracias]

Wikipédia dit que le lemme de Gauss généralise le lemme d'Euclide. Je n'arrive pas à comprendre comment où pourquoi?

[TheaGracias]

Je me dit si a divisé b.c et si a n'est pas premier avec b. Peut-on dire que a divise c ? Ce qui compromet à mon avis ce lemme. A moins que l'expression << si a est premier avec b>> ne soit pas obligatoire.

[jiherve]

re
si a n'est pas premier avec b mais divise b*c alors on ne peut rien dire car "a n'est pas premier avec b" signifie que a divise b donc b*c mais pourquoi pas c aussi ,par contre si a divise b*c mais ni b ni c alors a est composé.
JR

[gg0]

12 divisé 3 x 9, mais 12 ne divise ni 3 ni 9, et 12 n'est pas premier avec 3 ni 9.

Cordialement

[jiherve]

re
rien compris!
JR

[gg0]

Erreur de touche, je reprends :

12 divise 4 x 9, mais 12 ne divise pas 4 ni 9. Et 12 n'est pas premier avec 4 ni avec 9.k

[TheaGracias]

Peut on ainsi dire que ces lemmes sont corrects? Et la question de départ ,peut on prouver l'unicité de la décomposition en facteur premier avec ces lemmes comme le dit wikipédia?

[pm42]

Peut on ainsi dire que ces lemmes sont corrects?

Est ce que tu poses la question sérieusement ? Tu doutes vraiment du fait que le lemme d'Euclide et celui de Gauss sont corrects alors qu'en plus, les démos ont été données ? Et tu penses que ce qui s'appelle le "Théorème fondamental de l'arithmétique" pourrait être faux sans que personne ne s'en soit rendu compte en 2300 ans ?

Et la question de départ ,peut on prouver l'unicité de la décomposition en facteur premier avec ces lemmes comme le dit wikipédia?

Là aussi, la démo est donnée sur de nombreux sites web et on le trouve avec une recherche immédiatement.