Algèbre: facteurs premiers

[invitec13ffb79]

Bonjour,
Notre prof nous a donné une liste d'exercices d'algèbre dernièrement, et un de ces exos me pose problème. Pourriez-vous m'aider à le résoudre? Je précise qu'on nous a dit qu'on pouvait presque tout faire avec le théorème de Bezout (que je connais bien, ainsi que sa particularité pour le cas de nombre premiers entre eux). Mais sur ces questions là, je bloque vraiment.
Merci d'avance.

1°) Soit un entier . Montrer que le plus petit diviseur de différent de est un nombre premier. >> Celle-ci j'ai réussi à la prouver

2°) Montrer que tout entier supérieur ou égal à peut s'écrire sous la forme où les sont des nombres premiers distincts et les dont des entiers naturels non nuls.

3°) Soit a un entier naturel non nul et des entiers relatifs; montrer par récurrence sur qu'il existe tel que .

4°) Soient des entiers tels que et sont premiers entre eux pour tout ; on note . Déduire de la question précédente qu'il existe et dans tels que ; en déduire que et sont premiers entre eux.

5°) Montrer que les nombres premiers sont les seuls diviseurs premiers du produit . En déduire qu'une telle décomposition en facteurs premiers est unique à l'ordre des facteur près.
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[invite52c52005]

Bonsoir,

pour la 2°), tu peux peut être te servir de la 1°). En disant que est le plus petit premier qui divise a, avec sa multiplicité . Puis tu appliques la même chose sur
, etc ...
Et on s'arrête à k, cela veut dire qu'il n'a plus de plus petit diviseur donc plus de diviseur du tout, a est donc décomposé.
Il faut rédiger cela de manière plus rigoureuse. Ici, c'était juste une idée.

[invitec314d025]

Pffff, tu pourrais au moins montrer que tu as cherché

Pour nissart, l'ordre de multiplicité fait partie de ce qu'il y a à montrer dans la logique de l'exercice. Et d'où sort ton p1^(a/m1) ? Il suffit de réappliquer la 1) à a/p1.

[invite52c52005]

Pffff, tu pourrais au moins montrer que tu as cherché

Pour nissart, l'ordre de multiplicité fait partie de ce qu'il y a à montrer dans la logique de l'exercice. Et d'où sort ton p1^(a/m1) ? Il suffit de réappliquer la 1) à a/p1.

C'est ce que je donnais comme indication! Car ce n'est pas p1^(a/m1) mais

C'est TeX qui l'avait écrit comme ça (), pourtant ma syntaxe me paraissait correcte.

Et si j'ai mis directement la 1ère multiplicité, c'est par raccourci. Car en appliquant le 1) m1 fois, le plus petit premier facteur est toujours p1. J'ai fait un raccourci pour indiquer que le même raisonnement pouvait s'appliquer avec le 2ème plus petit nombre premier facteur sur et ainsi de suite pour chaque premier facteur compté avec sa multiplicité.

C'est correct, non ? Je ne sais pas si je me suis bien fait comprendre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Ah OK, toutes mes excuses

[invite52c52005]

Ah OK, toutes mes excuses

Ca va, je te pardonne

Plus sérieusement, je n'avais pas détaillé (mais ça pouvait peut être prêter à confusion), car c'était juste pour donner une piste à dj_titeuf, et je ne voulais pas tout lui exposer pour qu'il puisse réfléchir et trouver par lui-même.