Que vaut 1 puissance 0 ?

[Cosmologie]

Bonjour,


D'une part :

• Soit la fonction



Ainsi :

• Soit la fonction



Ainsi :


D'autre part :




Conclusion :

ou ? Où est l'erreur ?


Merci pour vos réponses.
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[invite23cdddab]

L'erreur c'est déjà que et non

En effet, pour x>0,

,

et comme , d'où le résultat par composition des limites

[Cosmologie]

Voici la représentation des fonctions :

[Cosmologie]

Avec les parenthèses, j'obtient en effet f3(0)=1

A quoi correspond f2(x) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Pour répondre il faudrait savoir comment le logiciel interprète x^x^x. Il y a deux possibilités : (x^x)^x ou bien x^(x^x). En traçant les deux vous devriez voir.

Ce qu'il faut retenir c'est qu'il faut utiliser des parenthèses pour lever les ambiguïtés. Même dans les langages de programmation ce genre de soucis peut arriver (si la façon d'interpréter les expressions mathématiques sans parenthèses n'est pas spécifiée dans le langage, alors selon les implémentations vous pourrez avoir différents résultats. Et même si c'est spécifié, je ne parierai pas lourd...).

[gg0]

Bonjour.

Il est possible que l'on ait f₂(x)=x^(x^x). C'est l'interprétation classique des successions de puissances a^b^c=a^(b^c) (pour (a^b)^c on a une écriture simplifiée).

Plus d'incohérence, 1^0 vaut bien 1, comme toute puissance nulle.

Cordialement.

[Cosmologie]

Merci de m'avoir éclairé.

Les successions de puissances montre une caractéristique néanmoins surprenante : d'une succession de puissance à l'autre, lorsque x tend vers 0+, alors y est alternativement 0 pour un nombre de x impair et 1 pour un nombre de x pair.

Comment on interprète cette particularité ?

En complétant les graphes précédents :

[JJacquelin]

La question revient à la signification de 0^0 .
https://fr.scribd.com/doc/14709220/Z...-Zero-th-Power.
Encore une apparition du "Power Less Monster" !

[gg0]

Très intuitivement,

x^x se comporte, au voisinage de 0 comme 1. Donc dans des calculs enchaînés de ce genre, on peut remplacer x^x par 1, donc x^(x^x) par x^1 = x et x^(x^(x^x)) par x^x. donc ces fonctions puissances enchaînées se comportent en gros comme x ou 1 (suivant qu'il y a un nombre pair ou impair de x) au voisinage de 0. Comme c'est vraiment une question anecdotique, je ne vois pas l'intérêt d'aller au delà de cette explication intuitive. Que ceux que ça intéresse (cosmologie ? d'autres ?) le fassent.

Cordialement.

[JJacquelin]

Dans sa forme initialement posée la (fausse) preuve proposée est basée au départ sur une fausse affirmation : limite x^x=1 pour x tendant vers 0+. C'est à dire que la limite 0^0=1 existerait. C'est la raison pour laquelle le papier traitant de ce sujet a été cité. Ma réponse ce limitait là, sans entrer dans la discussion qui a suivi et qui, comme gg0 le souligne très justement, est anecdotique.

[gg0]

Tout à fait !

Et c'est pourquoi j'ai voulu expliquer intuitivement l'alternance des courbes.

Cordialement.

[pm42]

Après, un outil comme Wolfram Alpha obtient ce résultat en décomposant en séries de puisieux et pour , il trouve et pour , il donne .

Je ne sais pas comment fonctionne le soft utilisé par Cosmologie ceci dit.

[gg0]

Les courbes qu'il donne correspondent à x^(x^x), x^(x^(x^x)), x^(x^(x^(x^x))), etc.

est égal à pas à = x^(x^x), noté habituellement .

Cordialement.

[pm42]

Oui erreur de parenthèses de ma part mais je l’avais tapé correctement dans le calculateur formel. Merci de ta réponse qui m’a fait en plus comprendre le résultat.