Si f(x^3+x)=x, que vaut f(x) ?

**Ano12142** · 09/10/2018, 19h53

Bonjour,

Soit une fonction $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ . Que vaut $\text{[math]}$ ?

Merci !

**gg0** · 09/10/2018, 20h16

Bonjour.

je suppose que ce n'est pas seulement pour une seule valeur de x, mais que c'est le cas pour tout x. Tu as donc une fonction g définie par g(x)=x^3+x et tu en cherches une réciproque f. Certains théorème de lycée permettent de justifier que cette fonction f existe, mais il n'existe pas d'expression algébrique de f. Je pense qu'on peut arriver à en trouver une expression très compliquée avec des fonction qu'on ne voit pas en lycée.

Mais as-tu vraiment besoin d'écrire f(x) avec des calculs compliqués ?

Cordialement.

**jacknicklaus** · 09/10/2018, 21h38

a vue de nez, je dirais $\text{[math]}$

PS ! ce sont des racines cubiques, pas des 3 fois racine carrée. je ne sais pas mieux l'écrire en Latex

**Tryss2** · 09/10/2018, 21h45

gg0 : C'est un peu moins compliqué que ça, en particulier, pas besoin de fonctions "spéciales".

On commence par montrer que

$\text{[math]}$

Ensuite, $\text{[math]}$ étant bijectif, on a que pour tout y réel, f(y) vérifie l'équation

$\text{[math]}$

C'est à dire que f(y) est solution de l'équation du troisième degré

$\text{[math]}$

Là, c'est un peu compliqué au niveau lycée, mais la méthode de Cardan nous donne l'existence d'une solution réelle :

$\text{[math]}$

D'où le résultat, pas mal tordu ! mais quand même une expression algébrique

@ jacknicklaus : les racines cubiques, c'est \sqrt[3]{ x}, qui donne $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**jacknicklaus** · 09/10/2018, 21h54

merci Tryss2

donc, en écrivant mieux : $\text{[math]}$

ce qui doit être la même chose que ta formule, vu que j'ai utilisé aussi Cardan.

**Tryss2** · 09/10/2018, 23h36

Fort possible : j'ai en fait utilisé un "esclave numérique" pour me faire le calcul de la racine réelle du polynôme, vu que je suis un gros flemmard

Le premier terme est bien le même

**gg0** · 10/10/2018, 08h40

Effectivement,

on est dans le cas où il y a une seule racine réelle, celui qui permet la méthode de Cardan explicite.

Cordialement.

Si f(x^3+x)=x, que vaut f(x) ?

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Re : Si f(x^3+x)=x, que vaut f(x) ?

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