Equation différentielle du second ordre

[Newtonien]

Bonjour, dans le cadre d'un problème de dynamique je suis amené à résoudre une équation de la forme x'' = a*x^n + b
x'' est en fait une accélération, a une valeur réelle qui dépends des conditions initiales, n=-y = -1.4 le coefficient adiabatique de l'air et b est une constante tenant compte de la contribution de la pression atmosphérique.
J'aimerais si possible avoir une équation de la forme x = f(t) équation horaire de la position.
Je n'ai pas trouvé de méthode usuelle pour résoudre une équation comme celle-ci sur internet.

Merci d'avance.
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[Opabinia]

Bonjour,

dans le cadre d'un problème de dynamique je suis amené à résoudre une équation de la forme x'' = a*x^n + b
x'' est en fait une accélération, a une valeur réelle qui dépends des conditions initiales, n=-y = -1.4 le coefficient adiabatique de l'air et b est une constante tenant compte de la contribution de la pression atmosphérique.

Il s'agit apparemment du mouvement d'un piston coulissant sans frottement dans un cylindre.

Je ne crois pas malheureusement que l'on puisse aller au delà de la première intégrale.

L'équation s'écrit: (dx'/dt) = a/x^γ + b
soit encore: x'(dx'/dt) = a.x'/x^γ + b.x'

d'où en passant à la primitive:

x'²/2 = (-a/(γ - 1)x^γ-1) + b.x + K

Il intervient une constante d'intégration dépendant des conditions initiales.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Je bute sur la même difficulté que Opabinia ...

Mais si on connaît les valeurs numériques de a et de b et les conditions initiales (par exemple, les valeurs numériques de x(0) et de x'(0)), alors on peut facilement calculer les positions x(t) à l'aide d'un tableur (par petits incréments de t) et en tracer la courbe.

Voila par exemple ce que cela donnerait à partir (valeurs probablement non représentatives d'un cas concret) de x(0) = 2 (m) ; x'(0) = -1 (m/s) ; a = 0,5 et b = 2



Bien entendu, dans le tableur, on peut laisser les valeurs de a, b , x(0) et x'(0) en paramètres facilement modifiables.

[Newtonien]

Bonsoir, merci pour votre réponse.
En effet il s'agit du coulissement d'un piston dans un vérin suffisamment épais pour être isolant.

Si je comprends bien la solution que vous proposez est l'équation de la vitesse en fonction de la position ?
Malheureusement il me semble avoir fait une erreur de définition du problème puisque ce n'est pas x"= a*x^(-y) + b mais x" = a*(x + r)^(-y) + b + c où r est la position initiale, la forme de la solution est-elle toujours identique ?

J'ai ajouté c pour tenir compte du poids du piston dans le cas d'un déplacement non horizontal mais il ne me semble pas que l'ajout soit problématique.

Si je comprends bien la constante K doit-être mesurée expérimentalement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Black Jack 2]

Bonsoir, merci pour votre réponse.
En effet il s'agit du coulissement d'un piston dans un vérin suffisamment épais pour être isolant.

Si je comprends bien la solution que vous proposez est l'équation de la vitesse en fonction de la position ?
Malheureusement il me semble avoir fait une erreur de définition du problème puisque ce n'est pas x"= a*x^(-y) + b mais x" = a*(x + r)^(-y) + b + c où r est la position initiale, la forme de la solution est-elle toujours identique ?

J'ai ajouté c pour tenir compte du poids du piston dans le cas d'un déplacement non horizontal mais il ne me semble pas que l'ajout soit problématique.

Si je comprends bien la constante K doit-être mesurée expérimentalement ?

Bonjour,

La difficulté est identique avec les 2 équations ...

On peut d'ailleurs passer de la seconde à la première par un simple changement de variable :

Dans la seconde, poser x + r = X ---> x" = X"
et la seconde équation devient : X" = a * X^(-y) + b + c

... qui est de la même forme que la 1ère équation.

Et je redis la même chose que dans mon message précédent ...

Si on connaît les valeurs numériques des constantes et les conditions initiales (position et vitesse en t = 0 par exemple), il est facile de tracer la courbe du déplacement en fonction du temps à l'aide d'un tableur. (on travaille avec de petits incréments de temps)

Par contre, trouver une expression analytique du déplacement en fonction du temps ... c'est la galère (voire impossible à l'aide d'un nombre fini de fonctions usuelles)

[Opabinia]

... Si je comprends bien la constante K doit-être mesurée expérimentalement ?

Elle est tout simplement donnée par les conditions initiales: t = 0, x = x° , x' = x'° = v° , ce qui conduit à:

K = v°²/2 + a/(γ - 1)x°^(γ-1)- b.x° .

... la solution que vous proposez est l'équation de la vitesse en fonction de la position ? ...

L'expression de la vitesse est encore possible: elle est donnée par la formule (I) lorsqu'elle est positive.
On ne peut cependant aller au-delà, l'intégrale à calculer n'admettant pas d'expression analytique (formule II):