équation différentielle d 'ordre 1

**fartassette** · 11/05/2017, 13h47

Bonjour ,

je travaille sur des équations différentielle d'ordre 1 de niveau lycée ou post bac. La recherche de l'unique solution consiste t'elle à déterminer C?

justifier que le problème différentiel admet une unique solution, puis déterminer cette solution. $\left( P \right) :\begin{cases} \left( 1+{ t }^{ 2 } \right) y'-{ 2t }^{ 2 }y=0 \\ y\left( 0 \right) =1 \end{cases}$ indication $K=lnc$

soit, $\frac { { 2t }^{ 2 } }{ 1+{ t }^{ 2 } } y=\frac { dy }{ dt }$

donc, $\int { \frac { dy }{ y } } =\int { \frac { { 2t }^{ 2 }dt }{ 1+{ t }^{ 2 } } } +K=2\left( \int { dt } -\int { \frac { dt }{ 1+{ t }^{ 2 } } } \right) +K$

$\ln { |y|= } 2\left( t-\arctan { t } \right) +\ln { C }$

donc, $\ln { \frac { y }{ C } =2\left( t-\arctan { t } \right) }$ alors ${ y }=C.{ e }^{ 2t-2\arctan { t } }$ puisque $\ y\left( 0 \right) =1$ d'ou $C=1\$ ? finalement ${ y }={ e }^{ 2t-2\arctan { t } }$

merci,

**gg0** · 11/05/2017, 16h57

Bonjour.

Tu n'as pas justifié d'abord l'unicité de la solution. Ce genre d'énoncé suppose connus certains théorèmes généraux sur les équadiffs (conditions de Cauchy, par exemple).

Cordialement.

**fartassette** · 11/05/2017, 18h54

Envoyé par gg0

Bonjour.

Tu n'as pas justifié d'abord l'unicité de la solution. Ce genre d'énoncé suppose connus certains théorèmes généraux sur les équadiffs (conditions de Cauchy, par exemple).

Cordialement.

J'ai vu quelques méthodes de résolutions d'équations, entre autre sur les variables séparable.Quelle est la condition de Mr Cauchy.Sur Wikipèdia , on trouve le problème de Cauchy ,ce n'est pas très clair

merci

**gg0** · 11/05/2017, 21h26

Le théorème de Cauchy-Lipschitz donne des conditions pour qu'un problème de Cauchy $y'=f(x,y), y(x_0)=y_0$ ait une solution unique et maximale. Tu peux laisse tomber pour l'instant le "maximale", et te contenter de savoir que si f est continue sur un produit d'intervalles ouvert contenant $(x_0,y_0)$ , alors il y a une seule solution.
C'est la cas dans ton cas où tu peux écrire l'équation sous la forme
$y'=\frac{2t^2y}{1+t^2}$
la fonction du second membre étant définie et continue partout.

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**fartassette** · 12/05/2017, 14h34

Bonjour, ggo

Dans l'ensemble,c'est satisfaisant vos formulations ont été utile pour comprendre le fond de ce problème.

Pour résumer :Le problème de Cauchy -Lipschitz s'appuie tout d'abord sur la condition de continuité de fonction du système (P).
Deuxième point: Dans $(P)$ on retrouve une équation homogène $(l1)$ avec second membre nul, vérifiant $\forall t\in I | 1+{ t }^{ 2 }\neq\ 0$ donc $(l1)$ admet une infinité de solutions.Intuitivement,l'idée serait d'apporter une condition supplémentaire dans le système pour que la solution devient unique,généralement appelé solution particulière.

D'ailleurs pour faire le lien,avec vos écritures : $y'=f(t,y)$ = $\frac { { 2t }^{ 2 }y }{ { t }^{ 2 }+1 }$ en fixant des valeurs à la variable $t\neq(t_o)$ alors $y'\neq 0$ ce qui traduit que la fonction ne s'annule pas,le problème de Cauchy est bien apparent.

Enfin, j’espère ne pas me gourer ,merci pour vos explications.

Cordialement,

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