La continuité en un point (a,a^2)

[skalpovitsh]

Ex:
/ f(x,y)= xsin( y/(y-x^2) ) , si y!=x^2
\ f(x,y)= 0 ,si y=x^2

1-Montrer que f est continue en (0,0).
2-Etudier la continuité de f en (a,a^2) avec a!=0.

l'exercice me demande de démontrer que f est continue en (0,0) qui est très simple il suffit de majorer |f(x,y)-f(0,0)|< x--->0 car | sin( y/(y-x^2) ) | <1 ;
donc f est continue en (0,0). Ce que je n'arrive pas à comprendre c'est la continuité de f en (a,a^2), j'ai la correction de l'exercice qui dit que f n'est pas continue en (a,a^2) alors que en faisant les même étapes que j'ai fait avec le point (0,0) je trouve que f est continue en (a,a^2).


Ma question : est ce que f est continue en (a,a^2) si no pourquoi?

Et aussi j'ai une autre question :
Est ce qu'il est possible qu'une fonction qui n'est pas continue en un point x0 soit dérivable en cet dernier?
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[gg0]

Bonjour.

"en faisant les même étapes que j'ai fait avec le point (0,0) je trouve que f est continue en (a,a^2)." Non, tu as pris le même chemin, mais tu n'as pas fait une preuve. La preuve en (0,0) ne marche que parce que x tend vers 0. Donc ton raisonnement est faux. Le fait que |f(5,y)-f(0,0)|< 5 ne sert pas à grand chose !!
Regarde ce qui se passe pour |f(x,a²)-f(0,0)| lorsque x tend vers a.

Pour ta deuxième question, je suppose que tu parles d'une fonction d'une seule variable. Et c'est du cours de base de voir que si f est dérivable en a, alors f est continue en a (utiliser la définition). par contraposition, si f n'est pas continue en a, elle n'est pas dérivable en a.

Cordialement.