P|Q et racines

[Julees]

Bonjour,

Je dois montrer que (X^p - 1)(X^q - 1)|(X-1)(X^pq - 1) :
J'ai montré que les racines de U=(X^p - 1) et de P=(X^q - 1) faisaient parties de celles de (X^pq - 1)
J'en ai conclu que UP|(X^pq - 1) et donc que UP|(X-1)(X^PQ)

Mais on m'a dit de d'abord prouver que 1 était racine double de UP, mais je ne sais pas pourquoi...

Merci d'avance !
-----

[gg0]

Bonjour.

Les racines de sont des racines de , mais ne divise pas .

Pour montrer que P divise Q, il ne suffit pas que toutes les racines de P divisent Q. La présence de (X-1) ici aurait dû te mettre la puce à l'oreille.

Cordialement.

NB : J'ai supposé que tu travaillais dans . Dans , c'est très différent.

[Julees]

D'accord (merci d'avoir répondu), donc si je résume, pour montrer que P|Q il faut montrer que les racines du diviseur sont dans celles du divisé ET que ces racines communes soient de multiplicité supérieure ou égale pour le divisé c'est ca ? (j'espère que c'est clair ��)

Et ainsi dans le cas de mon exercice il faut que je dise que les racines de U et de P sont toutes distinctes (et de ce fait les racines de U*P sont de multiplicité 1 ce qui ne pose pas de problème pour la multiplicité de celles du divisé) à l'exception de 1 qui est racine double de U*P (car racine simple et de U et de P) donc c'est pour cela qu'on multiplie par X-1 le divisé, pour que la racine soit double au divisé.
C'est ca ?

[gg0]

Oui, c'est ça : Dans (*), P divise Q si chacune de ses racines est aussi une racine de Q, et de multiplicité inférieure dans P que dans Q. Comme 1 n'est qu'une racine simple de , il faut un facteur supplémentaire.
A priori, si p et q sont quelconques, il peut y avoir d'autres racines doubles. Elles le sont toutes si p=q.

Cordialement.

(*) C'est ce que je voulais écrire, à la place de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Julees]

Très bien merci pour votre réponse ! Ca m'a bien aidé.