Les racines

[Astrolen]

Bonjour,
J'ai un problème : comment peut on résoudre des inégalités contenant une racine carée et un nombre 'normal' ?

Par exemple, comment peut on faire pour RAC (x-1) - x+2 ?
Merci d'avance!
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[gg0]

Bonjour.

Pour ta question, il n'y a pas de réponse générale. Déjà sans mettre des racines, il y a plein d'inégalités qu'on ne sait pas résoudre exactement.
Ton exemple laisse à désirer, puisqu'il n'y a pas d'inégalité. En voici deux autres :
* rac(x-2)<1-x si x est une éventuelle solution, il est au moins égal à 2 (sinon la racine n'existe pas); mais alors 1-x est strictement négatif, donc l'inégalité est fausse (la racine est un nombre positif)
* rac(x²-4)<x+1 comme x²-4 doit être positif, x est soit inférieur à -2, soit supérieur à 2. le premier cas est impossible, car x+1 serait négatif. Donc s'il y a une solution, c'est un nombre au moins égal à deux. Dans ces conditions, on déduit de l'inéquation entre nombres positifs par élévation au carré que x²-4<x²+2x+1 ce qui donne x>-5/2, qui est toujours vérifié pour x supérieur à 2; S=[2,+oo[.

Cordialement.

NB : Ce ne sont que des exemples; simples, pour qu'il y ait une résolution possible.

[Astrolen]

Mon problème est : RAC (x+2) > 1-x
Donc x doit être supérieur à -2, sinon la racine n'existerait pas. Ensuite, comment résoudre ? Elever RAC (x+2) au carré (ainsi que 1-x) ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Attention au signe de .

Rappel : D'une manière générale, n'implique pas

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Astrolen]

oui je vois bien, mais comment je peux en être sûr dans mon problème (vu que j'ai pas de valeur connue) ?

[PlaneteF]

Tu peux envisager 2 cas.

[Astrolen]

Quand x est compris entre -2 et 0, et un autre cas quand il est compris entre 0 et + infini ?

[PlaneteF]

Non, 1er cas et 2e cas

Cdt

[Astrolen]

il n'y a pas de moyen plus "rapide" en raisonnant par équivalence pour trouver x ?

[PlaneteF]

Bonjour,

Je ne comprends pas trop ce que tu veux ... Il y a une inégalité et un besoin d'éléver au carré tout ce beau monde. Or la fonction carrée n'est pas monotone sur , donc il va bien falloir savoir ce que l'on fait du sens de cette inégalité lorsque l'on va effectivement passer au carré : On garde le sens ? On change le sens ? Dans quel cas ?

Cordialement

[Astrolen]

Ah d'accord je comprenais pas pourquoi s'embêter avec ça !
Je dirais que l'on doit changer le sens de l'inégalité, car après élévation au carré, x+2 < (1-x)2
Non ?

[gg0]

On ne fait pas des maths en faisant des transformations au hasard, mais en appliquant strictement des règles de calcul. Donc changer de sens ou pas ne dépend pas de ta volonté, mais des signes des nombres en cause.

Tant que tu n'accepteras pas d'examiner (à partir de la connaissance parfaite de la notion de racine carrée, contenue dans la définition précise) la situation, tu ne feras pas de calcul; seulement des écritures sans intérêt (puisque tu ne peux pas savoir si tu fais juste ou faux).

Peux-tu donner " la définition précise" de la racine carrée ?
Peux-tu donner la règle précise qui permet, dans certains cas, de passer d'une inégalité sur des nombres à une inégalité sur leurs carrés ?
Si tu n'es pas capable de faire ça ici, il est inutile qu'on "explique", tu ne comprendras pas pourquoi on calcule.

Cordialement.

[PlaneteF]

Je dirais que l'on doit changer le sens de l'inégalité, car après élévation au carré, x+2 < (1-x)2

Affirmation fausse en général et justification tautologique.

Non ?

Ben du coup, non

Il va bien falloir que tu distingues les 2 cas comme je te l'ai indiqué plus haut.

Cdt

[Astrolen]

D'accord je vais essayer de donner une définition de tous ce que tu dis à la fin :

Racine carré : élever un nombre à la puissance 1/2, ce nombre doit être positif. La fonction racine et croissante est positive sur son intervalle. Dans l'état actuel de mes connaissances, qui ne sont d'ailleurs pas énormes (sinon je ne serais pas ici), c'est tout ce que je sais. Peut-être as-tu d'autres propriétés de la racine carré, a quel cas il serait intéressant de les connaître, mais je pense que je vais apprendre tout ceci dans les prochaines années, donc inutile de me parler de choses trop compliquées.

Pour a<b, a2<b2 n'est pas forcément vrai, cela dépend du signe de a et de b... Pour la même raison que la racine, je pense apprendre ça en profondeur dans les années à venir.

[PlaneteF]

Racine carré : élever un nombre à la puissance 1/2, ce nombre doit être positif.

Et c'est quoi la définition de l'élévation à la puissance 1/2 ?

[Astrolen]

PlanèteF, on est d'accord que ce que j'ai écrit est faux, car dépend de x. J'ai pas fait attention, désolé !
Mais dans une inégalité et en raisonnant par équivalences, on a pas le droit de s'arrêter en route pour faire une sorte de tableau de signes, non ?

[Astrolen]

Dans l'état actuel de mes connaissances, je ne saurais répondre à cette question de manière précise

[gg0]

Tu ne peux pas sérieusement faire ce genre d'exercice sans connaître la définition de racine carrée, qui est très simple (on la donnait autrefois en quatrième, elle semble disparaître de l'enseignement français du collège sans être revue au lycée, ce qui pénalise fortement les élèves) :
Soit A un nombre positif. la racine carrée de A est le nombre positif dont le carré est A.
Définition à connaître par cœur, avec ses deux adjectifs "positif".

Pour l'élévation au carré, tu dis "cela dépend du signe de a et de b." C'est très insuffisant, donne les différents cas.

Tu es en quelle classe ?

[Astrolen]

Ca coule de source cette propriété ! Je ne savais plus comment la formuler, mais bien sûr, je voyais l'idée. Bien sûr que sans connaître ça, on ne peut rien faire !
Pour l'élévation au carré, (en tout cas l'inégalité avec des carrés), ça dépend bien de a et de b ! Après, que dire d'autre ? a2=a x a ? Je pense que tout le monde sait, ça, pas besoin de le redire (comme pour la racine un peu). Je ne vois pas quoi dire d'autre... un carré est tjrs positif, oui, mais ça ne rentre pas dans mon problème initial (pas directement en tout cas)

[Astrolen]

Ah et j'oubliais, je suis en terminale ! C'est vrai que j'aurai pu re préciser ces propriétés, mais alors on a pas fini de tout définir, tellement que c'est "évident" depuis le temps pour des élèves ignorants comme nous

[PlaneteF]

1er cas ...

2e cas ...
Vas-y, enchaine, on ne va pas y passer le réveillon

[PlaneteF]

Donc concrètement comme je te l'avais déjà suggéré :

1er cas :

Dans ce cas le membre de gauche et le membre de droite de l'inéquation sont tous les deux positifs. Sachant que la fonction carré est strictement croissante sur , ... à toi de poursuivre.

2e cas :

Dans ce cas on est dans le situation "nombre positif > nombre négatif". La conclusion est immédiate.


Cdt

[gg0]

La manipulation d'inégalités élevées au carré, c'est simplement le sens de variation de la fonction f : x-->x², cours de seconde, généralement revu en première :
Si 0<=x<y, alors x²<y² (f est croissante sur R+)
Si x<y<=0, alors x²>y² (f est décroissante sur R-)
Et comme toujours, il n'est pas interdit d'utiliser son intelligence.

Cordialement.

[Astrolen]

Donc je fait deux colonnes :

1er cas : RAC (x+2) > x-1
x+2 > (x-1)2
x+2 > x2 - 2x +1
-x2 +3x +1 > 0

je calcul delta, x1 et x2...


2e cas : RAC (x+2) > x-1
x+2 > (x-1)2
... ... ...

Mais attendez ! ca revient au même ! voila ce que je ne pense pas comprendre dans votre rédaction (je comprends le raisonnement, mais pas la rédaction, finalement)

[PlaneteF]

1er cas : RAC (x+2) > x-1
(...)
2e cas : RAC (x+2) > x-1

Tiens, v'là maintenant que ton énoncé a changé !

Cdt

[Astrolen]

Oups, pardon j'ai inversé bien sûr : je voulais dire 1-x !

[PlaneteF]

Du coup ce que tu écris pour le 2e cas est faux, car la fonction carré n'est pas croissante sur (elle n'y est pas décroissante non plus).

Je te donne un exemple : On a , et bien entendu tu ne peux pas conclure que qui donnerait !!!

Cdt

[Astrolen]

Donc le sens est inversé... D'accord, mais au bout du compte, comment arriver, lorsque j'aurais résolu ces deux colonnes, à une solution ? J'aurais plusieurs solutions (2 pour l'eq du 2nd degrès du 1er cas et 1 pour le 2e cas)... alors que je devrais trouver une seule et unique solution, un seul et unique x pour lequel RAC (x+2) > 1-x

[PlaneteF]

Donc le sens est inversé...

Ben dans l'exemple ci-dessus oui, mais dans d'autres cas non.

Exemple : . Le sens n'est pas inversé puisque l'on a bien c'est-à-dire

D'accord, mais au bout du compte, comment arriver, lorsque j'aurais résolu ces deux colonnes, à une solution ? J'aurais plusieurs solutions (2 pour l'eq du 2nd degrès du 1er cas et 1 pour le 2e cas)... alors que je devrais trouver une seule et unique solution, un seul et unique x pour lequel RAC (x+2) > 1-x

Cette inéquation a une infinité de solutions !


Cdt

[Astrolen]

Oui bien sûr, mais quand j'ai dit "je devrais trouver une seule et unique solution" je pensais que je devrais trouver quelque chose comme (j'invente)
RAC (x+2) > 1-x
<=> x > 12

S= [12 ; +inf [

Voila ce que j'aimerais trouver (ici il y a bien sûr une infinité de solutions, mais elle a "un point de départ" pour lequel l'inéquation est exacte : 12)