continuité d'une fonction en un point

[Baobabbab]

Bonjour à tous! J'ai un petit (gros) soucis avec la continuité d'une fonction en un point! J'ai beau chercher sur internet, j'ai un peu du mal à bien comprendre!

Certains sites me disent de calculer la limite en arrivant vers ce point par la droite et par la gauche, si la limite est la même, ma fonction est continue, sur un autre site, il s'agissait du fait que si ce point est dans le domaine de définition, ma fonction est continue,. Et sur d'autres sites, c'est expliqué par des formules mathématiques telles que lim de x---> c de f(x) = f(c)

Je suis un peu perdu dans ces explications. C'est très flou dans ma tête, si par exemple je dois dire si la fonction f(x) = sin(x-2) est continue au point x=2. Si je prend la deuxième explication, ma fonction est continue car le domaine de définition de ma fonction c'est R.
Donc en calculant la limite: lim de x---> 2 de f(X)= lim de x---> 2 de sin(2-2) = 0.
Donc elle est continue, quand x tend vers 2, y = 0?

J’espère pouvoir trouver un peu d'aide, s'il vous plaît

Bonne journée à vous tous
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[ansset]

Non, appartenir au domaine de définition est bien insuffisant.
soit f(x)=0 pour tout x<0 et f(x)=1 pour tout x>=0
son domaine de définition est R et elle n'est pourtant pas continue en 0.
ceci dit on peut néanmoins dire qu'elle est continue à droite en 0.

par ailleurs, il est parfois piégeux ( on peut faire des erreurs ) en passant uniquement par les limites.
il faut parfois revenir à la définition de base avec les infinitésimaux.

[gg0]

Heu ... Ansset,

C'est quoi, la définition par les infinitésimaux ? Je connais la définition par les limites, par les ouverts, par les filtres, mais pas celle-ci.

Cordialement.

NB : j'ai vu sur des documents du dix-huitième siècle, l'usage des infinitésimaux, mais c'est abandonné depuis Cauchy (sauf en ANS).

[gg0]

Baobabbab,

tu peux te contenter de ce que dit Wikipédia. Et pour aller plus loin, étudier un cours de L1/prépa.
Mais attention à ce que tu écris :
"Donc en calculant la limite: lim de x---> 2 de f(X)= lim de x---> 2 de sin(2-2) = 0. " ??
Le bon calcul est " lim quand x---> 2 de f(x)= sin(2-2) = 0" . Mais comment justifies-tu cette limite ? En fait, tu as justement utilisé la continuité, qui dit que la limite de la fonction est sa valeur.
En pratique, il est rare d'utiliser la définition pour justifier la continuité (sauf dans les preuves des propriétés de base); on utilise directement les propriétés, qui font que les fonctions qu'on utilise au lycée et celles obtenues par des ca&lculs avec des fonctions continues (*) sont continues (*).

Cordialement.

(*) en tout point du domaine de définition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

C'est quoi, la définition par les infinitésimaux ? Je connais la définition par les limites, par les ouverts, par les filtres, mais pas celle-ci.

ça : pour ( Domaine de def)

pas le temps ou la flemme de me taper le Latex, mais ma phrase était peut être mal formulée.

[gg0]

Ah, OK, c'est une forme de la définition par les ouverts; on l'appelle souvent "la définition par les epsilon"; mais epsilon n'est pas un infinitésimal, c'est un brave réel habituel.
Pour ne pas avoir d'ennui, on écrira au moins :



Cordialement.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Tout est-il clair ?

Par exemple, si on demande si f est continue sur R avec f(x) = sin(x)/x
... pour moi la réponse est NON, car f n'est pas définie en 0

Mais si on donne f par :
f(x) = sin(x)/x pour tout x réel différent de 0
f(x) = 1 pour x = 0.
... alors f est continue sur R.

Dans le 1er cas, on a bien lim(x-->0-) sin(x)/x = lim(x-->0+) sin(x)/x = 1 ... mais f n'existe pas en x = 0 et n'est donc pas continue sur R

Dans le second cas, on a lim(x-->0-) sin(x)/x = lim(x-->0+) sin(x)/x = f(0) (qui est défini)

[gg0]

Bonjour.

Effectivement, si on veut définir la continuité en a par les limites à droite et à gauche, il faut imposer à f d'être définie en a, et surtout ne pas utiliser la notion de limite épointée (*). Ou bien imposer que les deux limites soient égale à f(a), pas seulement égales entre elles.
La définition de Ansset évite ces problèmes, et a pour conséquence que les limites à droite et à gauche de f en a sont égales, et valent f(a).

Cordialement.

(*) la limite épointée de f en a est la limite de f restreinte à R-{a}. Elle ne tient donc pas compte de f(a) qui peut être égal ou non à cette limite.