Moment d'inertie d'un prolate sphéroidal

invite39431164 · 26/01/2021, 17h32

Bonjour,

J'aimerais calculer le moment d'inertie Ixx d'un prolate sphéroïdal (ellipsoïde aplati) suivant l'axe de révolution x.
prolate.png prolate2.jpg

I_xx=ρ_s ∬(y^2+z^2) dS

La question est comment je défini l'élément de surface pour mon intégrale ?
Pour mon ellipsoïde a>b et b=c.

Merci,
MCK

**gg0** · 26/01/2021, 20h26

Bonjour.

La définition dépend de la forme de définition de l'ellipsoïde : équation cartésienne, système d'équations paramétriques, équation polaire, ...

Cordialement.

invite39431164 · 29/01/2021, 16h44

Supposons que je prenne un système de coordonnée comme sur le lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ellips...%C3%A9volution.
Un système proche du système de coordonnée sphérique avec une paramétrisation faite pour un ellipsoïde.
L'élément de surface dS pour l'intégrale Ixx, ça donnerais quoi ?

**Biname** · 29/01/2021, 18h16

Salut,
'Calculus 3 14.4' ajoute 'inertia' dans ta recherche, un cours d'une heure environ, exercices compris, des vidéos, des pdf, ... . Prérequis : intégrales multiples en coordonnées polaires ... r.dr.d $\text{[math]}$ !(Ou Calculus III)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitede656be3 · 08/02/2021, 15h08

Bonjour,
Je pense qu'en utilisant la bonne vieille méthode que j'utilisais en terminale(il y a longtemps). Découper l'ellipsoïde en disques "dx" perpendiculaires à l'axe x (moment / x = Ixx)
On utilise les coordonnées cartésiennes. Calcul du rayon du disque = f(y, z). Puis le moment d'inertie (à vérifier sur Internet Ixx_disque = 1/2 m R^2). Calcul de m = f1 (y, z, ro).
Cela doit conduire à une intégrale simple, qui doit être un polynôme en x et avoir une primitive.

**Biname** · 08/02/2021, 17h43

Salut,
Trop loin, je doute de tout

Est-ce qu'on parle du même moment d'inertie ? https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_quadratique

Ce prolate (x²/a²) + (y²/b²) + (z²/b²) = 1 (1)
https://www.geogebra.org/3d/upr6qshg axe des x en rouge, y en vert, z en bleu
L'intégrale ci-dessus en coordonnées polaires donne
Nom : Integ.jpg
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Taille : 2,5 Ko

Nom : Integ.jpg
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???
avec r = z(x) dans (1) pour y=0
soit r = Sqrt ( (1 - (x²/a²)) b²) = (b/a) Sqrt(a² - x²)

I_xx = $\text{[math]}$ b Sqrt(a²-x²)/2a d'ou la condition a > b et b = c car x_max = c

Non ???

Biname

**Biname** · 08/02/2021, 17h52

Oublié l'exposant 4 à r
r^4 = (b/a)^4 * (a² - x²)²
I_xx = pi * rho * ((b²(x²-a²)/a²)²
Sauf erreursss

Biname

**Biname** · 08/02/2021, 19h16

Une bonne âme pourrait effacer ces deux messages ? $\text{[math]}$ aurait dû freiner mes ardeurs

**Opabinia** · 10/02/2021, 16h01

Bonjour,

Tu cherches si j'ai bien compris à exprimer le moment d'inertie d'un ellipsoÏde allongé par rapport à son axe de révolution (x'x), admettant pour équations en coordonnées cylindriques:

ρ² = y² + z² ,
(x/a)² + (ρ/b)² = 1

la dernière égalité étant complétée par les équations paramétriques:

x = a.Sin(t),
ρ = b.Cos(t) .

J'aimerais calculer le moment d'inertie Ixx d'un prolate sphéroïdal (ellipsoïde aplati) suivant l'axe de révolution x.

I_xx=ρ_s ∬(y^2+z^2) dS

La question est comment je défini l'élément de surface pour mon intégrale ?
Pour mon ellipsoïde a>b et b=c.

Nom : EllipsoÏDDE A sup B = C.png
Affichages : 529
Taille : 259,1 Ko

L'aire élémentaire (dS) est celle d'une bande délimitée par deux cercles situés dans deux plans parallèles à (yOz), d'abscisses (x) et (x + dx), de longueur L = 2πρ et de largeur

dl = (dx² + dρ²)^1/2 = (a²Cos(t)² + b²Sin(t)²)^1/2 = (b² + (a² - b²)Cos(t)²)^1/2 ,

ce qui conduit ) l'expression:

I_x = Int_t=-π/2^+π/2ρ²L.dl= Int_t=-π/2^+π/2 [2π.b³Cos(t)³(b² + (a² - b²)Cos(t)²)^1/2.dt]

Calculs à vérifier. Je crains que l'on ne puisse pas aller plus loin.

**Opabinia** · 10/02/2021, 20h40

Correction:
J'ai oublié un élément différentiel dans l'expression de (dl):

dl = (dx² + dρ²)^1/2 = (a²Cos(t)² + b²Sin(t)²)^1/2.dt = (b² + (a² - b²)Cos(t)²)^1/2.dt

**Biname** · 11/02/2021, 03h50

Salut,
Sauf erreurs, j'ai trouvé

https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia voir les exemples

$\text{[math]}$ est la densité de la matière dans le volume dV, ici il est constant, il sort de l'intégrale

reste
$\text{[math]}$
avec dS la surface du cercle dans un plan normal à l'axe des x
comme dans mon message précédent, dS est la surface du cercle dont le rayon est l'équation de l'ellispe de la coupe pour y = 0

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
reste à intégrer entre -a et +a ou pour simplifier entre 0 et a el multiplier le résultat par 2 soit

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On demande à Wolfram pour faire court
https://www.wolframalpha.com/input/?...+dx+for+0+to+a
$\text{[math]}$

Et au final on trouve

$\text{[math]}$

Ici https://en.wikipedia.org/wiki/List_o...nts_of_inertia , pour un ellipsoïde on donne
$\text{[math]}$
m est la masse du prolate( $\text{[math]}$ ) et pour nous b=c, il reste donc
$\text{[math]}$
la masse de notre prolate est de https://calculis.net/volume/ellipsoide
$\text{[math]}$
soit
$\text{[math]}$

Je trouve juste deux fois trop

... demain

Biname

**Opabinia** · 11/02/2021, 11h22

Il faut savoir ce que l'on calcule:

Envoyé par MCK9

J'aimerais calculer le moment d'inertie Ixx d'un prolate sphéroïdal (ellipsoïde aplati) suivant l'axe de révolution x.
I_xx=ρ_s ∬(y^2+z^2) dS
La question est comment je défini l'élément de surface pour mon intégrale ?
... / ... L'élément de surface dS pour l'intégrale Ixx, ça donnerais quoi ?

Il est bien question d'un élément de surface, homogène au carré d'une longueur, et le moment d'inertie calculé est celui d'un ellipsoïde creux, d'épaisseur nulle, et de masse surfacique (dm/dS) constante.

L'énoncé était néanmoins ambigu dans sa présentation initiale, et la solution qui vient d'être proposée conduit au moment d'inertie d'un ellipsoïde plein et homogène, de masse volumique (dm/dV) constante - il faudrait d'ailleurs vérifier le calcul.
L'appellation de l'élément différentiel est erronée:
dS = πr²dr n'est pas une surface élémentaire mais un volume, homogène au cube d'une longueur,
et l'on ne voit pas comment l'aire d'un cercle de rayon (r) pourrait être infiniment petite:

Envoyé par Biname

... avec dS la surface du cercle dans un plan normal à l'axe des x ...

Il s'agit alors d'une intégrale de volume, beaucoup plus facile à calculer que la précédente, intégrale de surface qui s'exprime probablement à l'aide de fonctions elliptiques (je n'ai pas poursuivi le calcul).

Je crois que MCK9 devrait reformuler son énoncé.

**Biname** · 11/02/2021, 12h21

Salut,

Envoyé par Opabinia

Il faut savoir ce que l'on calcule:
Il est bien question d'un élément de surface, homogène au carré d'une longueur, et le moment d'inertie calculé est celui d'un ellipsoïde creux, d'épaisseur nulle, et de masse surfacique (dm/dS) constante.
L'énoncé était néanmoins ambigu dans sa présentation initiale, et la solution qui vient d'être proposée conduit au moment d'inertie d'un ellipsoïde plein et homogène, de masse volumique (dm/dV) constante - il faudrait d'ailleurs vérifier le calcul.

Oui

L'appellation de l'élément différentiel est erronée:
dS = πr²dr n'est pas une surface élémentaire mais un volume, homogène au cube d'une longueur,
et l'on ne voit pas comment l'aire d'un cercle de rayon (r) pourrait être infiniment petite:

Oui, le dr fut ajouté un peu trop rapidement espérant introduire le dx à la ligne suivante mais ce n'était pas nécessaire.

----- correction -----
<...>
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
reste à intégrer entre -a et +a ou pour simplifier entre 0 et a el multiplier le résultat par 2 soit
$\text{[math]}$
<...>
---------------------

Il s'agit alors d'une intégrale de volume, beaucoup plus facile à calculer que la précédente, intégrale de surface qui s'exprime probablement à l'aide de fonctions elliptiques (je n'ai pas poursuivi le calcul).
Je crois que MCK9 devrait reformuler son énoncé.

Ca me semble lourd ??? On s'amuse ? On peut résoudre les deux cas

Biname

**Biname** · 11/02/2021, 12h35

Et un peu plus tard :
la solution de ce 'cas d'école' se trouve évidemment sur internet :
https://phys.libretexts.org/Bookshel...and_Ellipsoids
Biname

**Opabinia** · 11/02/2021, 14h17

C'est faux: les grandeurs encadrées

Nom : dS = Pi.r^2.png
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ne sont pas des infiniment petits - cela saute aux yeux !

invitede656be3 · 11/02/2021, 15h37

Bonjour,
je suis d'accord avec le résultat Ixx = 16 pi Ro a b^4/15. Il est obtenu par 3 méthodes différentes. Celle de Biname , celle que j'ai indiquée le 08/02/2021, et une autre trouvée sur internet : patatoide de révolution ( pièce jointe ).
Il est cohérent pour l'équation aux dimensions . Mais pour une sphère (a=b) on trouve déjà un facteur 2 !?.
En outre si on remplace Ro par sa valeur Ro = 2 m /4 pi ab^2, (volume de l' ellipsoïde 4 pi Ro abc /3 avec b=c) on trouve sauf erreur : Ixx= 4 m b^2/5. Le "a" a disparu!!?? Aberrant.
On connait le résultat Ixx = m ( a^2 + b^2)/5. (équation aux dimensions OK sphère OK). 2 sites le donnent.
Comment introduire la somme a^2 + b^2 dans le calcul alors que dès le départ on a des produits qui ne s'éliminent pas?

**Biname** · 11/02/2021, 19h21

Salut,

Envoyé par Opabinia

C'est faux: les grandeurs encadrées

Pièce jointe 432428

ne sont pas des infiniment petits - cela saute aux yeux !

Oui, une fois de plus, tu as raison ! Ca manque de rigueur et un peu plus.
Reprenons depuis le début :
$\text{[math]}$ Voir ici
P=P0 un point pivot et ||r|| la distance entre P0 et P(x,y,z)
$\text{[math]}$
Le moment d'inertie par rapport à l'axe des x, lorsque celui-ci est l'axe de rotation, ne dépend pas de la composante x de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
Pour nous r = b = c
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

L'intégrale sur r et $\text{[math]}$ équivaut dans ce cas à calculer la surface d'un cercle et d'aboutir à $\text{[math]}$ (r drd dtheta = s(x)) ??? Ce que je zappais dans mon message précédent ... sauf que je trouvais deux fois trop.

Avant ces messages, je ne connaissais rien à TEX. Là, en trois heures, j'ai fait du chemin

et c'est amusant car TEX force la patience et le calme.

Biname

**Opabinia** · 11/02/2021, 19h45

Nom : Schéma et texte.png
Affichages : 1892
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Les résultats sont cohérents.

**Opabinia** · 11/02/2021, 19h57

Avant ces messages, je ne connaissais rien à TEX. Là, en trois heures, j'ai fait du chemin et c'est amusant car TEX force la patience et le calme.

C'est en effet un très bon entraînement pour la maîtrise de l'écriture des équations. LibreOffice. permet leur mise en forme directe.

**Biname** · 11/02/2021, 20h35

Salut,

Envoyé par Opabinia

C'est en effet un très bon entraînement pour la maîtrise de l'écriture des équations. LibreOffice. permet leur mise en forme directe.

Voilà, on trouve le même résultat ! On est trop fort

Reste l'autre cas, le 'prolate fin', ce que demandait MCK9 l'initiateur du sujet selon son $\text{[math]}$ .
Repos !

Biname

Moment d'inertie d'un prolate sphéroidal

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