Bonjour,
J'aimerais calculer le moment d'inertie Ixx d'un prolate sphéroïdal (ellipsoïde aplati) suivant l'axe de révolution x.
prolate.pngprolate2.jpg
I_xx=ρ_s ∬(y^2+z^2) dS
La question est comment je défini l'élément de surface pour mon intégrale ?
Pour mon ellipsoïde a>b et b=c.
Merci,
MCK
Bonjour.
La définition dépend de la forme de définition de l'ellipsoïde : équation cartésienne, système d'équations paramétriques, équation polaire, ...
Cordialement.
Supposons que je prenne un système de coordonnée comme sur le lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ellips...%C3%A9volution.
Un système proche du système de coordonnée sphérique avec une paramétrisation faite pour un ellipsoïde.
L'élément de surface dS pour l'intégrale Ixx, ça donnerais quoi ?
Salut,
'Calculus 3 14.4' ajoute 'inertia' dans ta recherche, un cours d'une heure environ, exercices compris, des vidéos, des pdf, ... . Prérequis : intégrales multiples en coordonnées polaires ... r.dr.d!(Ou Calculus III)
Bonjour,
Je pense qu'en utilisant la bonne vieille méthode que j'utilisais en terminale(il y a longtemps). Découper l'ellipsoïde en disques "dx" perpendiculaires à l'axe x (moment / x = Ixx)
On utilise les coordonnées cartésiennes. Calcul du rayon du disque = f(y, z). Puis le moment d'inertie (à vérifier sur Internet Ixx_disque = 1/2 m R^2). Calcul de m = f1 (y, z, ro).
Cela doit conduire à une intégrale simple, qui doit être un polynôme en x et avoir une primitive.
Salut,
Trop loin, je doute de tout
Est-ce qu'on parle du même moment d'inertie ? https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_quadratique
Ce prolate (x²/a²) + (y²/b²) + (z²/b²) = 1 (1)
https://www.geogebra.org/3d/upr6qshg axe des x en rouge, y en vert, z en bleu
L'intégrale ci-dessus en coordonnées polaires donne
???
avec r = z(x) dans (1) pour y=0
soit r = Sqrt ( (1 - (x²/a²)) b²) = (b/a) Sqrt(a² - x²)
I_xx =
Non ???
Biname
Oublié l'exposant 4 à r
r^4 = (b/a)^4 * (a² - x²)²
I_xx = pi * rho * ((b²(x²-a²)/a²)²
Sauf erreursss
Biname
Dernière modification par Biname ; 08/02/2021 à 16h54.
Une bonne âme pourrait effacer ces deux messages ?
Bonjour,
Tu cherches si j'ai bien compris à exprimer le moment d'inertie d'un ellipsoÏde allongé par rapport à son axe de révolution (x'x), admettant pour équations en coordonnées cylindriques:
ρ2 = y2 + z2 ,la dernière égalité étant complétée par les équations paramétriques:
(x/a)2 + (ρ/b)2 = 1
x = a.Sin(t),
ρ = b.Cos(t) .
J'aimerais calculer le moment d'inertie Ixx d'un prolate sphéroïdal (ellipsoïde aplati) suivant l'axe de révolution x.
I_xx=ρ_s ∬(y^2+z^2) dSLa question est comment je défini l'élément de surface pour mon intégrale ?
Pour mon ellipsoïde a>b et b=c.
L'aire élémentaire (dS) est celle d'une bande délimitée par deux cercles situés dans deux plans parallèles à (yOz), d'abscisses (x) et (x + dx), de longueur L = 2πρ et de largeur
dl = (dx2 + dρ2)1/2 = (a2Cos(t)2 + b2Sin(t)2)1/2 = (b2 + (a2 - b2)Cos(t)2)1/2 ,ce qui conduit ) l'expression:
Ix = Intt=-π/2+π/2ρ2L.dl= Intt=-π/2+π/2 [2π.b3Cos(t)3(b2 + (a2 - b2)Cos(t)2)1/2.dt]
Calculs à vérifier. Je crains que l'on ne puisse pas aller plus loin.
Correction:
J'ai oublié un élément différentiel dans l'expression de (dl):
dl = (dx2 + dρ2)1/2 = (a2Cos(t)2 + b2Sin(t)2)1/2.dt = (b2 + (a2 - b2)Cos(t)2)1/2.dt
Salut,
Sauf erreurs, j'ai trouvé
https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia voir les exemples
reste
avec dS la surface du cercle dans un plan normal à l'axe des x
comme dans mon message précédent, dS est la surface du cercle dont le rayon est l'équation de l'ellispe de la coupe pour y = 0
reste à intégrer entre -a et +a ou pour simplifier entre 0 et a el multiplier le résultat par 2 soit
On demande à Wolfram pour faire court
https://www.wolframalpha.com/input/?...+dx+for+0+to+a
Et au final on trouve
Ici https://en.wikipedia.org/wiki/List_o...nts_of_inertia , pour un ellipsoïde on donne
m est la masse du prolate(
la masse de notre prolate est de https://calculis.net/volume/ellipsoide
soit
Je trouve juste deux fois trop
Biname
Dernière modification par Biname ; 11/02/2021 à 02h53.
Il faut savoir ce que l'on calcule:
Il est bien question d'un élément de surface, homogène au carré d'une longueur, et le moment d'inertie calculé est celui d'un ellipsoïde creux, d'épaisseur nulle, et de masse surfacique (dm/dS) constante.Envoyé par MCK9
L'énoncé était néanmoins ambigu dans sa présentation initiale, et la solution qui vient d'être proposée conduit au moment d'inertie d'un ellipsoïde plein et homogène, de masse volumique (dm/dV) constante - il faudrait d'ailleurs vérifier le calcul.
L'appellation de l'élément différentiel est erronée:
dS = πr2dr n'est pas une surface élémentaire mais un volume, homogène au cube d'une longueur,
et l'on ne voit pas comment l'aire d'un cercle de rayon (r) pourrait être infiniment petite:
Il s'agit alors d'une intégrale de volume, beaucoup plus facile à calculer que la précédente, intégrale de surface qui s'exprime probablement à l'aide de fonctions elliptiques (je n'ai pas poursuivi le calcul).
Je crois que MCK9 devrait reformuler son énoncé.
Salut,
Oui
Oui, le dr fut ajouté un peu trop rapidement espérant introduire le dx à la ligne suivante mais ce n'était pas nécessaire.L'appellation de l'élément différentiel est erronée:
dS = πr2dr n'est pas une surface élémentaire mais un volume, homogène au cube d'une longueur,
et l'on ne voit pas comment l'aire d'un cercle de rayon (r) pourrait être infiniment petite:
----- correction -----
<...>
reste à intégrer entre -a et +a ou pour simplifier entre 0 et a el multiplier le résultat par 2 soit
<...>
---------------------
Ca me semble lourd ??? On s'amuse ? On peut résoudre les deux casIl s'agit alors d'une intégrale de volume, beaucoup plus facile à calculer que la précédente, intégrale de surface qui s'exprime probablement à l'aide de fonctions elliptiques (je n'ai pas poursuivi le calcul).
Je crois que MCK9 devrait reformuler son énoncé.
Biname
Et un peu plus tard :
la solution de ce 'cas d'école' se trouve évidemment sur internet :
https://phys.libretexts.org/Bookshel...and_Ellipsoids
Biname
C'est faux: les grandeurs encadrées
ne sont pas des infiniment petits - cela saute aux yeux !
Dernière modification par Opabinia ; 11/02/2021 à 13h19.
Bonjour,
je suis d'accord avec le résultat Ixx = 16 pi Ro a b^4/15. Il est obtenu par 3 méthodes différentes. Celle de Biname , celle que j'ai indiquée le 08/02/2021, et une autre trouvée sur internet : patatoide de révolution ( pièce jointe ).
Il est cohérent pour l'équation aux dimensions . Mais pour une sphère (a=b) on trouve déjà un facteur 2 !?.
En outre si on remplace Ro par sa valeur Ro = 2 m /4 pi ab^2, (volume de l' ellipsoïde 4 pi Ro abc /3 avec b=c) on trouve sauf erreur : Ixx= 4 m b^2/5. Le "a" a disparu!!?? Aberrant.
On connait le résultat Ixx = m ( a^2 + b^2)/5. (équation aux dimensions OK sphère OK). 2 sites le donnent.
Comment introduire la somme a^2 + b^2 dans le calcul alors que dès le départ on a des produits qui ne s'éliminent pas?
Salut,
Oui, une fois de plus, tu as raison ! Ca manque de rigueur et un peu plus.
Reprenons depuis le début :
P=P0 un point pivot et ||r|| la distance entre P0 et P(x,y,z)
Le moment d'inertie par rapport à l'axe des x, lorsque celui-ci est l'axe de rotation, ne dépend pas de la composante x de
Pour nous r = b = c
L'intégrale sur r et
Avant ces messages, je ne connaissais rien à TEX. Là, en trois heures, j'ai fait du chemin
Biname
Dernière modification par Biname ; 11/02/2021 à 18h23.
Les résultats sont cohérents.
C'est en effet un très bon entraînement pour la maîtrise de l'écriture des équations. LibreOffice. permet leur mise en forme directe.Avant ces messages, je ne connaissais rien à TEX. Là, en trois heures, j'ai fait du chemin et c'est amusant car TEX force la patience et le calme.
Salut,
Voilà, on trouve le même résultat ! On est trop fort
Reste l'autre cas, le 'prolate fin', ce que demandait MCK9 l'initiateur du sujet selon son
Repos !
Biname
