Récurrence inégalité sur un carré et les puissances de 2

[Louis F]

Bonjour, j’aimerais prouver par récurrence k²<2^k+1
En essayant comme hypothèse de récurrence ce qui est proposé ci dessus aucun résultat
En essayant comme hypothèse de récurrence Ce qui est au dessus en comment au rang n-1 aucun résultat
En essayant de tout passer dans le même membre comme hypothèse de récurrence, aucun résultat.
Auriez vous des pistes à me suggérer.

En vous remerciant de votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

S'agit-il de comme tu l'as écrit, auquel cas l'inégalité n'est pas vraie pour k=3, ou bien de ?

Cordialement.

NB : La récurrence n'est pas vraiment la meilleure idée dans les deux cas, car on a, pour tout réel x et comme une simple étude de fonction le montre facilement.

[Louis F]

Merci de votre réponse rapide l’exposant est k+1
Il m’est demandé de le prouver impérativement par récurrence

[gg0]

OK !

Tu as en utilisant l'hypothèse de récurrence.
Comme , il te suffit de montrer que ce qui peut aussi se faire par récurrence.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Sinon, si l'énoncé se trouvait être , on peut réecrire ça sous la forme :



Et pour la récurrence, on a , on majore par :

est équivalent à

Du coup, pour k > 3,