Suite et recurrence terminale S (calcul avec des puissances (n+1)

[souzzou]

J'ai un petit problème avec les puissaces (n+1), (n+2) et les multiplications.

Je pars avec: Un_n+1=(Un+2)/(4-Un) et Un=(2ⁿ⁺²-3ⁿ⁺¹)/(2ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹)

J'arrive à obtenir: Un_n+1=((2ⁿ⁺²-3ⁿ⁺¹+2*2ⁿ⁺¹-2*3ⁿ⁺¹)/(2ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹))/((2*2*2ⁿ⁺¹-2*2*3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹)/(2ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹))

Et là je bloque! Si vous pouvez m'aider merci !
-----

[souzzou]

Aidez-moi! Help!

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

J'arrive à obtenir: Un_n+1=((2ⁿ⁺²-3ⁿ⁺¹+2*2ⁿ⁺¹-2*3ⁿ⁺¹)/(2ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹))/((2*2*2ⁿ⁺¹-2*2*3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹)/(2ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹))

Déjà, tu peux simplifier les dénominateurs communs à ta fraction du haut et à celle du bas à savoir (2ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹)

Ensuite, il te suffit de voir que 2*2^a = 2^a+1 idem avec les 3^...
Regroupe les termes en 2ⁿ⁺¹ et factorise par 2ⁿ⁺¹ puis regroupe les termes en 3ⁿ⁺¹ et factorise par 3ⁿ⁺¹.

Tu retombes sur l'expression de u_n+1 sans difficulté... (enfin, je n'en ai pas rencontrées )

Si tu as du mal à simplifier, j'essaierais d'être plus explicite.

Cordialement,
Duke.

[souzzou]

Je te remercie de me consacrer un peu de ton temps!
Voici ce que je trouve, mais pas sûr que je sois sur la bonne voie :

(2ⁿ⁺²-3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²-3ⁿ⁺²)/(2ⁿ⁺³-3ⁿ⁺³-2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonjour.

(2ⁿ⁺²-3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²-3ⁿ⁺²)/(2ⁿ⁺³-3ⁿ⁺³-2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹)

Je trouve (2ⁿ⁺²-3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²-2x3ⁿ⁺¹)/(4x2ⁿ⁺¹-4x3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹)
ATTENTION ! 2x3ⁿ⁺¹ ne fait 3ⁿ⁺²
Une remarque : le terme en gras ci-dessus, je l'écrirais plutôt sous la forme 2x2ⁿ⁺² que 2ⁿ⁺³. C'est pour la factorisation qui suit

La deuxième étape : regrouper les termes en 2ⁿ⁺² et en 3ⁿ⁺²
2ⁿ⁺² + 2ⁿ⁺² = 2x2ⁿ⁺² = 2^...
3ⁿ⁺¹x(-1-2) = -3^...
et 3ⁿ⁺¹x(-4+1) = 3^...

Oui ? non ?

Duke.

[souzzou]

Ça y est j'y suis arrivée! Merci beaucoup pour ton aide