Résoudre une suite linéaire d'ordre 2

[darreltcho]

Bonjour à tous, toutes. Je vous souhaite une souhaite une agréable journée déjà.
Je rencontre un soucis sur la résolution de cet exercice :
Déterminer l'expression de suivant la relation .
J'ai essayé la méthode usuelle de resolution d'une suite linéaire d'ordre 2, j'obtiens par équation caractéristiques, une équation de solutions complexes.
Après je devrais introduire sous la forme , étant l'angle.
Sauf que c'est assez difficile à le faire, j'ai demandé à un aîné qui a déjà terminé l'école assez longtemps, et il obtient de sa manière,
, étant l'imaginaire. Qui est tout à fait juste, j'ai moi même vérifier, mais mon aîné ne parvient pas à se rappeler du chapitre et de la formule d'où elle provient vu que ça fait longtemps qu'il fréquente.
Si pouvez m'aider à obtenu la solution la plus adaptée au problème et m'expliquer d'où provient la méthode de mon aîné, svp.
Je vous remercie d'avance
-----

[darreltcho]

où faute de frappe

[darreltcho]

où faute de frappe

[gg0]

Bonjour.

Ton ainé ne te donne pas l'ensemble des solutions, sauf si tu as des renseignements sur v₁ et v₂, que tu n'as pas écrits.

Reprenons à la base. La résolution de l'équation caractéristique donne les solutions r'=-x+i et r"=-x-i; ce qui donne deux solutions complexes :


Les solutions sont exactement les combinaisons linéaires de ces deux solutions, mais comme on cherche des solutions réelles, on voit que la demi somme de ces deux solutions (= leur partie réelle) est aussi solution; ainsi que leur différence divisée par 2i (leur partie imaginaire) ce qui donne deux solutions réelles de base :


et donc la solution générale est donnée comme une combinaison linéaire :

Mais attention, a et b dépendent de v₁ et v₂, donc à priori de x :


Cordialement.

NB : Évite de mélanger les v et les V.

[A voir en vidéo sur Futura]

[darreltcho]

Bonjour gg0, merci du soutien et aussi pour ton commentaire concernant v et V. J'ai une question sur ton raisonnement, j'obtiens plutôt ceci

[darreltcho]

[gg0]

Ah oui, désolé !

J'ai effacé par erreur mon message initial presque fini, je l'ai retapé à toute vitesse, c'est bien des exp(-nx).

Cordialement.

[darreltcho]

D'accord merci

[darreltcho]

En passant,

[darreltcho]

rectification

[gg0]

Ça ne marche pas.

Avec , la relation de récurrence pour n=1 donne , ce qui impose

J'ai parlé de dépendance de a et b de et , mais si tu commences l'indiçage à 0, ce sont et qui donnent (récurrence double) les valeurs suivantes, donc a et b.

Cordialement.