Question exercice L2 maths convergence uniforme

[chloe4559]

Salut à tous!

je reviens vers vous aujourd'hui car je bloque sur un exo...

On vient de voir la convergence simple et uniforme des suites de fonctions et j'ai l'exercice en pj à faire pour vendredi.

Je suis bloquée sur la convergence uniforme. En effet, grâce à la question 2 je peux trouver un sup mais seulement pour n=1.

Comment est ce que je peux généraliser cela pour (fn) ?
Entamer une récurrence me paraît un peu complexe.

(sachant qu'il y a deux petites notes sur les questions 3)a) et 3)b) nous indiquant de nous servir des questions précédentes.

J'espère que vous pourrez m'aiguiller.

Bien cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Vois-tu le lien entre et ? il est évident que . Et que le maximum atteint par sera aussi atteint par , mais pour des valeurs différentes. Quelles sont ces valeurs ?
Avec ça, tu devrais comprendre ce qui se passe. Sinon, trace les courbes des pour différentes valeurs de n.

Cordialement.

[chloe4559]

Oui j’ai bien vu la relation que vous avez cité entre f et phi.
Du coup si je dit que x est à valeurs dans R+
Et que comme n est un entier naturel alors nx^2 est aussi à valeurs dans R et donc que le sup de |fn(x)| est égal au sup de |phi(x)|
Et j’ai bien que la limite quand n tend vers plus l’infini du sup de |fn(x)-f(x)| égale à la limite quand n tend vers plus l’infini de |g(x)| car j’ai prouvé en question 1 que f(x)=0 avec la convergence simple. De plus grâce à la question 2 j’ai trouvé que le sup du coup cest phi(pi/4)

Je sens que la justification est peut être un peu rapide au début de ma réponse mais je crois être sur la bonne piste

[gg0]

Tu ne sembles pas utiliser la distinction qui est faite dans ton énoncé entre [0,a] et [a,+oo[. Vois-tu pourquoi ça ne se passe pas de la même façon ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chloe4559]

sur [a;+oo[ ça converge uniformément car j'ai que x≥a et donc je peux majorer |fn(x)-f(x)| par exp(-na²)

En effet, j'ai que exp(-nx²) ≤exp(-na²)
et d'autre part que |sin(nx²)| ≤ 1

Comme les deux inégalités concernent des réels positifs je peux multiplier les deux inégalités entre elles pour obtenir finalement que
fn(x)|=|fn(x)-f(x)|≤exp(-na²)

[gg0]

OK !

Et pourquoi pas sur [0,+oo[ ?

[chloe4559]

Bonne question.
J'avoue que je ne vois pas là

[gg0]

Tu n'as pas vraiment lu ce que j'ai écrit :
"Et que le maximum atteint par sera aussi atteint par , mais pour des valeurs différentes. Quelles sont ces valeurs ?"
Tu n'as pas non plus réfléchi à exp(-na²) pour a=0.

Cordialement.