Existence de la limite du quotient de deux suites
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Existence de la limite du quotient de deux suites



  1. #1
    DavianThule95

    Existence de la limite du quotient de deux suites


    ------

    Bonjour,

    Une question me taraude, qui ne paraît pourtant pas très compliquée, mais qui curieusement me résiste :

    si u_n est une suite croissante qui tend vers +inf
    et v_n = n^a avec a > 0 (et donc v_n -> +inf)

    le quotient u_n/v_n admet-il nécessairement une limite ? (que cette limite soit finie ou infinie)

    Merci d'avance !

    DavianThule

    ps: C'est pas un exo, c'est juste une question que je me pose

    -----
    Je dis ça je dis rien mais j'le dis quand même.

  2. #2
    DavianThule95

    Re : Existence de la limite du quotient de deux suites

    Edit : En fait c'était pas si compliqué, et la réponse est non.

    Par exemple si je prends pour un certain n, u_n = v_n, (comme ça u_n/v_n = 1), et ensuite :

    u_(n+1) = u_(n+2) = ... = u_(n+k) = u_n jusqu'à ce que u_(n+k)/v_(n+k) < 0.5, puis je recommence : u_(n+k+1) = v_(n+k+1), et u_(n+k+2) = u_(n+k+2) = ... = u_(n+k+1) = v_(n+k+1), etc.

    De cette manière, j'ai une infinité de fois un rapport qui vaut 1, et une infinité de fois un rapport < 0.5.

    rajouter l'hypothèse "u_n STRICTEMENT croissante" n'y change rien, j'ai juste à prendre u_(n+k) = u_n + somme des 1/j^2 entre 1 et k.
    Je dis ça je dis rien mais j'le dis quand même.

  3. #3
    Médiat

    Re : Existence de la limite du quotient de deux suites

    Bonjour

    il suffit de prendre un = n(2+sin(n)), qui tend bien vers l'infini, mais un/n n'est pas convergente
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #4
    DavianThule95

    Re : Existence de la limite du quotient de deux suites

    Mais du coup j'ai une autre question un peu plus générale :

    Si v_n = n^a pour un certain a > 0, et u_n -> +inf

    Peut-on trouver une condition (que ce soit une CN/CS/CNS) pour que u_n/v_n admette une limite ? Quelles sont les "bonnes propriétés" qu'il faut sur u_n pour que u_n/v_n converge (ou diverge verrs + ou - inf) ?
    Je dis ça je dis rien mais j'le dis quand même.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Médiat

    Re : Existence de la limite du quotient de deux suites

    Justement dire que vn est une suite tendant vers l'infini, telle que vn/n^a converge pour un a donné est une "bonne propriété"
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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