Fonction de Cantor-Lebesgue

[gorgiel]

Bonjour,

J'essaye de montrer que la fonction de Cantor-Lebesgue définie par si avec et est continue sur l'ensemble de Cantor.

Malheureusement, je bloque un peu...

J'ai essayer de montrer que la suite de fonction si avec

converge uniformément vers . J'y arrive sans trop de soucis, mais je n'arrive pas à montrer que est continue (ce qui me permettrait de conclure). J'ai aussi essayer avec la définition en epsilon-delta mais cela me semble un peu laborieux et je n'arrive pas non plus au résultat. Auriez-vous une indication?

Merci d'avance.
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[invite23cdddab]

Indice : Si , alors

[gg0]

Bonjour.

Il y a un problème ! La fonction , telle qu'exprimée au message 1 n'est définie qu'en des valeurs séparées. Elle est donc continue, puisque la topologie de son ensemble de départ est la topologie discrète. Mais la notion de convergence uniforme n'a pas de sens (sur quel ensemble, d'ailleurs ?). Et si on complète par "0 ailleurs", elle n'est pas continue.

Tryss2, tu pensais à une autre fonction ? Pour laquelle ton inégalité serait vérifiée ?

Cordialement.

[invite23cdddab]

Dans ma réponse, j'ai considéré :

- Que les fonctions sont définies sur K, l'ensemble de Cantor, muni de la topologie induite par celle de R

- Qu'il y a une faute de frappe dans sa définition de , qui est en réalité :

si

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ce qui change fortement la situation !! Tu aurais pu le dire, pour . Il n'y a aucune raison pour que Gorgiel ait pensé ça.

Cordialement.