Montrer que deux suites ont la même limite
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Montrer que deux suites ont la même limite



  1. #1
    Marmus1021

    Montrer que deux suites ont la même limite


    ------

    Bonjour, voici un petit exercice :

    Soient (un) et (vn) deux suites dont les premiers termes u0 et v0 sont strictement positifs.
    Pour tout n appartenant à n, un+1 = (un + vn)/2, et vn+1 = racine de (un*vn)

    Voilà, et il faut montrer que les deux suites ont la même limite.
    Le problème, c'est que pour moi le seul moyen de montrer ça c'est de prouver que les deux suites sont adjacentes. Mais pour montrer qu'elles sont adjacentes, il faut montrer qu'il y en a une qui est croissante (ici (vn)), une décroissante (ici (un)), et qu'elles ont la même limite justement !

    Donc je ne sais pas comment faire... J'ai réussi à prouver que les deux suites convergeaient ( les deux sont monotones et bornées ), mais je suis bloqué à présent.
    Merci de m'éclairer svp

    -----

  2. #2
    jacknicklaus

    Re : Montrer que deux suites ont la même limite

    Si u et v sont les limites des suites Un et Vn, alors quelles relations existent entre u et v, sachant que un+1 = (un + vn)/2, et vn+1 = racine de (un*vn) ?

    autre manière de voir : que se passe t-il si j'échange un et vn dans les 2 définitions ?
    Dernière modification par jacknicklaus ; 04/11/2020 à 14h57.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  3. #3
    Marmus1021

    Re : Montrer que deux suites ont la même limite

    Ah je crois que j'ai compris : on a alors u = (u+v)/2, et v= racine de (u*v). (par opération sur les limites de suites convergentes)
    Et donc en utilisant u= (u+v)/2, on trouve u/2 = v/2, ce qui équivaut à u=v.
    C'est bien cela ?

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Montrer que deux suites ont la même limite

    Une remarque : On montre facilement que pour tout n

    en calculant

    et trouvant son signe. C'est une propriété classique des moyennes.

    Cordialement.

  5. A voir en vidéo sur Futura

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