Montrer que deux suites ont la même limite

[Marmus1021]

Bonjour, voici un petit exercice :

Soient (u_n) et (v_n) deux suites dont les premiers termes u₀ et v₀ sont strictement positifs.
Pour tout n appartenant à n, u_n+1 = (u_n + v_n)/2, et v_n+1 = racine de (u_n*v_n)

Voilà, et il faut montrer que les deux suites ont la même limite.
Le problème, c'est que pour moi le seul moyen de montrer ça c'est de prouver que les deux suites sont adjacentes. Mais pour montrer qu'elles sont adjacentes, il faut montrer qu'il y en a une qui est croissante (ici (v_n)), une décroissante (ici (u_n)), et qu'elles ont la même limite justement !

Donc je ne sais pas comment faire... J'ai réussi à prouver que les deux suites convergeaient ( les deux sont monotones et bornées ), mais je suis bloqué à présent.
Merci de m'éclairer svp
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[jacknicklaus]

Si u et v sont les limites des suites Un et Vn, alors quelles relations existent entre u et v, sachant que un+1 = (un + vn)/2, et vn+1 = racine de (un*vn) ?

autre manière de voir : que se passe t-il si j'échange un et vn dans les 2 définitions ?

[Marmus1021]

Ah je crois que j'ai compris : on a alors u = (u+v)/2, et v= racine de (u*v). (par opération sur les limites de suites convergentes)
Et donc en utilisant u= (u+v)/2, on trouve u/2 = v/2, ce qui équivaut à u=v.
C'est bien cela ?

[gg0]

Une remarque : On montre facilement que pour tout n

en calculant

et trouvant son signe. C'est une propriété classique des moyennes.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]