Analyse fonctionnelle - Espace de Banach

[Dio22]

Bonjour !
Je me pose quelques questions à propos d'un exercice d'analyse fonctionnelle.
Soient E et F deux espaces vectoriel normés munis respectivement d'une norme que l'on explicite pas.
On suppose GL(E,F) non vide et on doit montrer que E est un Banach si et seulement si F est un Banach.

Pour le sens direct, je pensais prendre une suite de Cauchy dans F, qui converge vers et montrer que .

Vu que est continue par hypothèse, on peut dire que l'image de converge dans E vers .

En reprenant l'image par u (qui est aussi continue) on trouve que la limite x appartient bien à F et donc on a prit une suite de Cauchy qui converge et on a vu que sa limite est dans F.

Sauf que quelque chose me semble louche, premièrement, l'image continue d'une suite de Cauchy n'est pas toujours une suite de Cauchy je crois, c'est uniquement l'image uniformément continue qui est une suite de Cauchy à ma connaissance.

Deuxièmement, la démonstration se fait donc de la même façon dans les deux sens de l'implication, ce qui est assez étrange pour la démonstration d'une équivalence...


Merci beaucoup pour votre aide/ vos explications et bonne journée!
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[gg0]

Bonjour.

Si tu prends une suite d'éléments de F qui converge, vers quoi d'autre qu'un élément de F pourrait-elle converger ?
Tu devrais reprendre les bases (qu'est-ce qu'un Banach ? Que veut dire "complet" ?) avant d'attaquer cet exercice.

Cordialement

[Tryss2]

Et, au passage, c'est parfaitement normal que la démonstration soit "la même" dans les deux sens :

Si tu montres "GL(E,F) non vide" entraine que "si E est un Banach alors F est un Banach", alors tu as montré que "GL(F,E) non vide" entraine que "si F est un Banach alors E est un Banach"

Mais GL(E,F) non vide si et seulement si GL(F,E) est non vide

[Dio22]

Bonjour,
Merci pour votre réponse;
J'ai normalement bien assimilé les éléments de mon cours et je parviens à faire des exercices plutôt plus tordu que celui ci en temps normal...
J'ai une autre piste :
Si je suppose E Banach, je peux prendre n'importe quelle suite de Cauchy, elle convergera dans E. Je prends ensuite l'image de cette suite par une application continue de E vers F et ainsi j'obtiens une suite convergente dans F et comme F est un espace vectoriel normé c'est en particulier un espace métrique et donc toute suite convergente est de Cauchy et j'ai ainsi une suite de Cauchy sui converge dans F. Mais le problème est ici qu'il peut y avoir des suites de Cauchy dans F qui ne converge pas ...

Comment je peux faire pour "attraper" toutes les suites de Cauchy de F avec ma fonction continue?

Merci d'avance pour votre réponse et bonne journée!

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

Cet exercice me semble bizzare : GL(E,F) non vide signifie exactement que E et F sont isomorphes comme espaces normes, donc c'est evident que E banach ssi F banach non ?...

[gg0]

Effectivement, Syborgg,

si tu définis GL(E,F) de façon qu'il ne contienne que des applications linéaires continues (je ne connais pas la définition de GL(E,F) dans le cas des Banach), et que tu sais que les homéomorphismes conservent la complétude.

Dio22, tu ne t'es pas encore vraiment posé la bonne question. Au fait, quelle est la définition de GL(E,F) dans ton cours ?

Cordialement.

[Dio22]

La définition dans le sujet est :

On dit que si qu'elle est inversible et que

Mais je pense que je peux dire que si ils sont homéomorphes, alors l'un est complet ssi l'autre est complet car la complétude est invariante par homeomorphisme.

Le problème ici c'est que une application linéaires continue n'est pas obligatoirement un homeomorphisme? Il nous manque la bijectivité non?

[syborgg]

Effectivement, Syborgg,

si tu définis GL(E,F) de façon qu'il ne contienne que des applications linéaires continues (je ne connais pas la définition de GL(E,F) dans le cas des Banach), et que tu sais que les homéomorphismes conservent la complétude.

Dio22, tu ne t'es pas encore vraiment posé la bonne question. Au fait, quelle est la définition de GL(E,F) dans ton cours ?

Cordialement.

Oui, en general la definition de GL pour les espaces normes inclut la contiuite (Banach ou pas). Mais alors pourquoi avoir enonce la question de facon tordue ? pourquoi ne pas avoir demande simplement "montrer que si E et F sont homeomorphes comme espaces normes, alors E Banach ssi F Banach" ? Et meme comme cela, c'est un exo assez surprenant, car quand on aborde les espaces de Banach on est sense avoir une certaine pratique des maths qui rend cet exo tellement trivial que c'est est presque un affront a l'intelligence.

[gg0]

Effectivement, si on rajoute la continuité, ça devient simple, car toutes les applications linéaires bijectives sont des homéomorphismes. Est-ce pour faire appliquer ce théorème ?

[gg0]

Par contre, sans la continuité, ça devient faux, sinon toutes les normes sur un Banach seraient équivalentes (l'application identique est une bijection de E sur E). A moins que E et F soient de dimension finie, ce qui assure la continuité.

Cordialement.