Matrices X.XT

[koni74]

Bonjour,

Tout d'abord désolé je sais qu'il y a un module LateX mais je ne maitrise pas, je vais donc écrire comme je peux.
J'ai une matrice X à n lignes et p colonnes
Je cherche à démontrer que X.transposée(X) (je note X.XT) = somme de i=1 à n des Xi.XiT (donné comme exercice donc a priori vrai)

Je calcule assez facilement que X.XT est une matrice de dimension n x n qui vaut
[x1², x1x2, x1x3 .... x1xn
x2x1, x2², x2x3 .... x2xn
....
xnx1, xnx2, xnx3.... xnxn]

Par ailleurs je suppose qu'il est correct d'écrire que pour tout i, ma matrice Xi = [0, 0, ... , xi, ... , 0]
d'où pour tout i, xi.xiT = une matrice nulle sauf l'élément de la ligne i et colonne i qui vaut xi²
et somme de i=1 à n des xi.xiT = la matrice diagonale des xi²

Donc il n'y a pas égalité et je démontre un résultat qui n'est pas celui demandé.

Est-ce que quelqu'un saurait me dire où j'ai faux?
Merci!
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[gg0]

Bonjour.

Manifestement, tu n'as pas compris le produit matriciel !! Essaie de calculer X.X^t avec pour X une matrice 3x2, par exemple, que tu auras prise avec des coefficients simples mais non nuls. Tu verras que tu t'es trompé.
D'autre part, tu parles de matrices Xi. Elles sont normalement définies dans ton énoncé, ou auparavant dans le cours, si c'est un exercice de cours. En tout cas, ce que tu écris n'a pas de sens : Qui est xi ? Et où se trouve-t-il dans Xi ? Tu as défini un vecteur colonne fantomatique !!

Cordialement.

NB : Apprends sérieusement ton cours, ça rend les exercices infiniment plus faciles. Si j'ai bien deviné ce qu'on te demande, c'est très simple, quand on connaît les bases.

[koni74]

Hello gg0,

Merci pour ta réponse, je vais essayer d'avancer un peu.

Mon problème vient justement de ce que les Xi ne sont pas définis. S'ils étaient définis explicitement je n'aurais aucune difficulté.
Il faut dire qu'il ne s'agit pas d'un exercice sur le calcul matriciel de terminale, là c'est juste une étape sur laquelle je bloque au sein d'un problème de descente de gradient stochastique sur une régression ridge.
Je vais tenter d'être plus clair, parce qu'en effet mon post précédent n'était pas un modèle...
Ma matrice X représente un dataset de n échantillons ayant chacun p features (on est dans le cadre du machine learning).

Je veux prouver que X . XT = Somme de i = 1 à n des Xi . XiT
En général, X est présentée sous la forme une ligne pour un échantillon, et une colonne pour une feature.
Donc X est une matrice de n lignes et p colonnes, comme je l'ai indiqué.
Et Xi représente un échantillon, càd la ligne i de la matrice X

Admettons que je considère Xi comme un vecteur ligne, ce qui semblerait logique.
Alors pour un i donné Xi . XiT = un scalaire
Donc la somme des Xi .XiT = une somme de scalaires = un scalaire
Or comme il est évident que X.XT est une matrice de dimension n x n, l'égalité risque d'être compliquée à démontrer.

C'est la raison pour laquelle j'ai plutôt considéré Xi comme une matrice de n lignes et p colonnes, remplie de 0 à l'exception de la ligne i (càd que Xi est la matrice X dans laquelle je ne garde que la ligne i).
De cette manière, pour un i donné, Xi . XiT est une matrice n x n, et leur somme sera une matrice n x n, je sens qu'on est déjà plus proche d'une solution.
Mais fatalement, c'est bien dans cette représentation de Xi qu'il y a un souci.

Car sous cette forme, pour un i donné, Xi . XiT est une matrice dont le seul terme non-nul est celui de la i-ème ligne, i-ème colonne.
Donc leur somme sera une matrice diagonale.

Comme bien évidemment X . XT n'est pas diagonale, ça ne marche pas.
X . XT sera définie positive, elle est aussi symétrique toussa toussa mais ça ne m'avance pas des masses.
Voilà j'espère que c'est plus clair comme ça.

Merci pour votre aide!

[gg0]

Finalement, tu sais parfaitement quelles sont les données (qui est X, qui sont les Xi), puis tu change la nature des choses. Ça ne va pas arranger le problème ! Tu dis "j'ai plutôt considéré Xi comme une matrice de n lignes et p colonnes", mais en plus ce n'est pas ce que tu écrivais dans ton premier message, où Xi était un vecteur colonne.

"En général, X est présentée sous la forme une ligne pour un échantillon, et une colonne pour une feature.
Donc X est une matrice de n lignes et p colonnes, comme je l'ai indiqué.
Et Xi représente un échantillon, càd la ligne i de la matrice X"

Il faut sans doute que tu reprennes le document sur lequel tu travailles. Spontanément, j'avais pensé à une colonne pour Xi. Ne serait-ce pas une colonne dans ta situation ? En tout cas, prendre autre chose pour Xi que ce qu'il doit être ne t'avancera à rien.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]