Bloqué sur une démonstration...

[math47]

Bonjour à tous,

Je cherche à montrer que la proposition suivante est vraie : "Soit une suite prenant un nombre fini de valeurs. Alors elle converge si et seulement si elle est stationnaire".
Voici ce que j'ai fait :

Soit (Un) convergeant vers l. On écrit la définition de la convergence de (Un) (désolé, je ne connais pas Latex)
On prend epsilon = 1/2
(Un) appartient donc à ]l-1/2; l+1/2[ = I

et là je bloque, si j'étais dans Z j'aurais dit que Z inter I est soit vide soit {a} mais non vide car (UN) en est un élément et donc n >=N implique Un = a
Donc (Un) est stationnaire à partir de N.

mais comment montrer cela dans R ?

Merci d'avance à tous et bonne soirée
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[jacknicklaus]

Soit V l'ensemble des valeurs de la suite. On les suppose toutes différentes . Comme cet ensemble est fini, on peut définir L le plus petit écart entre deux de ces valeurs.


soit Epsilon = L/2. Alors ... (etc)...

[gg0]

Bonjour.

Pourquoi avoir créé un nouveau sujet ?
D'autre part, tu n'utilises pas sérieusement la définition de la convergence :
"On prend epsilon = 1/2
(Un) appartient donc à ]l-1/2; l+1/2[ = I" ??? Que désignes-tu par (Un) ? En tout cas, ça n'a rien à voir avec la définition, que tu devrais apprendre car elle va te servir.
La suite est de la même eau.

Allez, un petit effort pour vraiment faire des maths ...

Cordialement.

[gg0]

Attention, Jacknicklaus,

tu sembles supposer implicitement que l est une des valeurs de la suite; il vaut mieux (*) traiter le cas où l n'est pas une valeur de la suite, puis voir que si l est une valeur de la suite, le même raisonnement implique la stationnarité.

Cordialement.

(*) il me semble

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

l'énoncé est valide dans R mais pas en général.

[Médiat]

l'énoncé est valide dans R mais pas en général.

L'énoncé est valide en général dans les espaces séparés

[jacknicklaus]

tu sembles supposer implicitement que l est une des valeurs de la suite; il vaut mieux (*) traiter le cas où l n'est pas une valeur de la suite

En fait, j'avais dans l'idée de montrer directement la stationnarité, sans passer par montrer que la limite = une des valeurs.
Simplement avec |u_n-u_p| <= |u_n- l | + |u_p- l | < 2Epsilon < (min_i,j(|u_i-u_j|, i <>j) ce qui implique Un = Up au delà d'un certain rang; et la stationnarité.


cordialement

[gg0]

Effectivement, c'est plus direct.

Cordialement.

[math47]

Bonsoir,

Par (Un) je désigne la suite, c'est de cette façon qu'on la note en cours, quel est le problème selon vous ?
Ensuite, "(Un) appartient donc à ]l-1/2; l+1/2[" était un raccourcis : (Un) appartient bien à cet intervalle car c'est équivalent à : |Un -l|<epsilon =1/2.
Enfin, je viens de relire mon message je vois en quoi il peut ne pas être très compréhensible... Par "On écrit la définition de la convergence de (Un)" je signifiais qu'à cet endroit de la démo on l'écrirait mais je ne l'ai pas fait dans mon post en m'excusant d'ailleurs de ne pas connaître Latex, mais ne vous en faites pas, je la connais très bien cette définition

Cordialement

[gg0]

Si (Un) est la suite, ce n'est pas un réel, donc dire "(Un) appartient donc à ]l-1/2; l+1/2[" n'a aucun sens. Ce qui appartient à ]l-1/2; l+1/2[, ce sont des un, et encore pas n'importe lesquels.
Quant à la définition de la convergence de (Un), tu n'as pas été capable de l'écrire ... de copier le cours ... tant pis !

[math47]

Bonsoir jacknicklaus,

Je dois avouer avoir du mal à faire le lien entre ce que tu dis dans ton premier et ton second message...
De plus je ne comprends pas mini,j(|ui-uj|, i <>j ni d'où sort Up...

Tu voudrais bien m'éclairer s'il-te-plaît ?
Cordialement

[math47]

Effectivement petite confusion de ma part! Merci à vous! Ensuite ma question est peut-être bête mais comment faire sans utiliser Latex pour l'écrire ici? (la définition de la convergence de (Un))
Cordialement

[gg0]

Tu l'écris avec des mots français.

[math47]

J'en prends bonne note alors!

[jacknicklaus]

Bonsoir jacknicklaus,

Je dois avouer avoir du mal à faire le lien entre ce que tu dis dans ton premier et ton second message...
De plus je ne comprends pas mini,j(|ui-uj|, i <>j ni d'où sort Up...

Tu voudrais bien m'éclairer s'il-te-plaît ?
Cordialement

Sans donner la réponse mais seulement des indices, l'idée est d'utiliser la définition de la convergence vers une limite l et de l'appliquer à deux indices n et p, qui correspondent à des termes Un et Up aussi proche que l'on veut de la limite l. Puis on utilise l'inégalité triangulaire pour montrer que la distance entre Un et Up est aussi petite que l'on veut au delà d'un certain rang. En utilisant la distance minimum (non nulle) entre 2 des valeurs en nombre fini que peut prendre la suite, on aboutit à la conclusion que la distance "aussi petite que l'on veut" doit être nulle, ce qui démontre la stationnarité. Je te laisse écrire celà au propre.

[math47]

Merci d'avoir répondu! Je regarderai ça demain et peut-être je reviendrai poster ma démo ici pour être certain

[math47]

Re : j'ai écrit la démo et j'ai fait vérifier en cours d'analyse, elle est nickel, merci à toi jacknicklaus