A combien est égal le cardinal d'omega?

[math47]

Bonsoir,
Je suis face à cet exercice : "On lance deux dés cubiques équilibrés indépendants, on note X la variable aléatoire donnant le plus grand des deux numéros. Calculer l’espérance et la variance de X".

Pour le résoudre je me suis dit que j'allais trouver le cardinal d'omega pour ensuite trouver la loi de probabilité de X et finalement appliquer les formules du cours pour calculer l'espérance et la variance.
Mon problème : quel est le cardinal d'omega ? Je pense qu'il est de 15 (je n'ai pas compté les couples qui donnent le même chiffre par exemple le couple (1,1) ni les "doublons" par exemple pour les couples (1,2) et (2,1) je n'ai compté qu'un seul couple (peut-on parler d'arrangements ici ?)).

Ma façon de procéder pour connaître omega est-elle correcte ?

Merci d'avance à tous,
Bonne soirée
-----

[gg0]

Bonjour.

Très souvent, il y a plusieurs univers possibles. C'est le cas ici. Mais il est pratique de choisir un univers qui permettra de faire les calculs. Pour tes deux dés cubiques, tu peux prendre les deux résultats des deux dés, sans t'occuper de l'ordre. Mais si tu ne comptes pas (1,1) qui est pourtant un résultat, tu ne parles plus des résultats possibles (deux dés à 1, c'est tout à fait possible).
D'autre part, quelle loi vas-tu utiliser, qui ne trahisse pas la situation ? Un indice : "deux dés cubiques équilibrés indépendants".

Cordialement.

[math47]

J'ai enlevé (1,1) dans la mesure où je n'étais pas certaine càd que comme 1=1, aucun n'est plus grand que l'autre, c'est qui m'a fait douter...
Ce serait une loi uniforme ?

[Deedee81]

Salut,

J'ai enlevé (1,1) dans la mesure où je n'étais pas certaine càd que comme 1=1, aucun n'est plus grand que l'autre, c'est qui m'a fait douter...

Attention à la confusion. Omega est l'univers de tous les possibles, et donc 1, 1 est bien un possible. Et dans ces possibles il y a les cas attendus et on ne doit pas en tenir compte dans la définition de Omega mais seulement dans le sous-ensemble des résultats.

En outre "X valeur du plus grand" ne signifie pas que 1,1 est exclu, seulement que c'est le max(v1,v2) où v1,v2 sont les valeurs indiquées par les dés. Et donc X prend la valeur 1 dans le cas 1,1.

Ce serait une loi uniforme ?

Attention, (1,2) et (2,1) ne sont pas un doublon !!!! (1,1), (1,2),(2,1) ont tous la même probabilité de se produire (comme gg0 l'a dit : "deux dés cubiques équilibrés et indépendants"), donc loi uniforme, oui, mais a condition de ne pas exclure les cas comme ça.

Une fois tout ça bien défini, l'espérance et la variance de X ne sont pas si compliqués. C'est comme pour construire une maison, faut juste les bonnes fondations

[A voir en vidéo sur Futura]

[math47]

Bonjour, merci d'avoir répondu ! Je dois exclure aucun cas alors ?

[Deedee81]

Bonjour, merci d'avoir répondu ! Je dois exclure aucun cas alors ?

C'est cela.
Dans ce problème, non, il ne faut rien exclure.

[math47]

Le cardinal oméga est donc de 36 c'est bien ça ?

[gg0]

Si tu prends comme événements élémentaires des couples (premier résultat, deuxième résultat), oui. Et l'avantage, c'est que les 36 événements élémentaires sont équiprobables (vois-tu comment le justifier ?), ce qui donne une loi de probabilité facile à traiter.
Tu peux même faire une "table de Pythagore", avec en première colonne les valeurs du premier dé, en première ligne les valeurs du deuxième, et, dans les 36 cases, les valeurs de X.

Cordialement.

[math47]

J'imagine que dire dire que les évènements sont équiprobables car "deux dés cubiques équilibrés et indépendants" est insuffisant ?
La loi de X est donc :
P(X=1) = 1/36
P(X=2) = 3/36
P(X=3) =5/36
P(X=4) =7/36
P(X=5) =9/36
P(X=6) = 11/36
c'est bien ça ?

En prenant ces résultats, j'ai trouvé que l'espérance = 161/36 et la variance = 103,63 N'est-ce pas étrange que la variance soit si grande ? Erreur de calcul ?

[gg0]

OK pour l'espérance, mais la variance est totalement fausse. Comment as-tu calculé ?

[math47]

Var(X) = E((X-E(X))²)
du coup ici ça nous donne 161/36*(1-161/36)²+...+161/36*(6-161/36)², non ?

[gg0]

Pourquoi ces 161/36 à chaque fois ?
La formule de l'espérance n'utilise pas une moyenne, mais une probabilité. Quelle est la probabilité que (X-E(X))² vaille (1-E(X))² ?

[math47]

Oh si je corrige ça donne 1/36*(1-161/36)² pour le premier terme de la somme?

[gg0]

Ben ... applique la formule, c'est tout.
Ou utilise la formule souvent plus pratique V(X)=E(X²)-E(X)².

[math47]

Du coup mon résultat pour le premier terme est correct ou non, je n'ai pas compris...