Convergence uniforme sur les compacts

[invite63fbae73]

Bonjour j'ai la convergence simple et convergence uniforme sur les compacts de 3 suite de fonctions à étudier pourriezvous me dire si j'ai juste merci d'avance
2) f_n(x) = (n-x²)/(n+x²) R-->R pour tout x de R (fn) converge vers la fonction f(x) = 1 pour CUC, je fixe [a,b] inclus dans R , pour tout x appartenant à [a,b] j'ai (n-a²)/(a²+n)>(n-x²)/(n+x²)> (n-b²)/(n+b²) f_n(x) encadré par deux termes tendant vers 1 en l'infini donc CUC vers f(x) = 1
3) f_n(x) = e^(-nx)sin(n²x) R+-->R pour tout x de R+ (fn) converge vers la fonction nulle et pour CUC en fixant [a,b] , on a |f_n(x)| =< e^(-na) qui tend vers 0 en infini donc CUC vers fonction nulle ( et je souhaite savoir si cette justification aurait été juste:comme (fn) est une suite de fonctions monotone qui converge simplement vers f(x) = 1 sur tout compact, alors elle converge uniformement vers f(x) = 1 ce qui implique la CUC ) ?
4) f_n(x) = x²e^(-sin(x)/n) R--->R qui converge vers f(x) = 0 pourtout x de R , comme (fn) est une suite de fonctions décroissante qui converge simplement vers 0 sur tout compact [a,b] alors elle converge uniformément vers 0 sur tout compact [a,b]
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[gg0]

Bonjour.

Ton 2) : Comment justifies-tu ton "(n-a²)/(a²+n)>(n-x²)/(n+x²)> (n-b²)/(n+b²)" ?
Ton 3) : Tu travailles sur R+ ? Alors comme a peut être égal à 0, tu ne peux pas dire "e^(-na) qui tend vers 0 en infini".
Pour ta justification, quel théorème de cours appliques-tu (je ne connais pas le contenu de tes cours) ?
Ton 4) : "qui converge vers f(x) = 0 pour tout x de R"?? Tu y crois vraiment ?

Cordialement.

[invite63fbae73]

Bonsoir , pour 2) j'ai commencé par l'inégalité a<x<b pour aboutir à mon résultat
pour 3) pour la justification entre parenthèses j'ai utilisé ce corollaire "Si une suite monotone de fonctions continues converge simplement vers une fonction
continue f sur un compact, elle converge uniformément vers f." en fixant [-a,a] comme intervalle j'aurais l'inégalité souhaitée ?
4 ) oui je viens de me rendre compte de ma bêtise, elle converge simplement vers f(x) = x² mais dans ce cas je n'arrive pas à déterminer la CUC dans ce cas , et même après avoir dérivé f_n-f pour étudier la convergence uniforme je tombe sur une expression impossible à manpuler

[gg0]

Bonjour.


"j'ai commencé par l'inégalité a<x<b" Oui, j'avais compris. Mais c'est tellement loin de (n-a²)/(a²+n)>(n-x²)/(n+x²)> (n-b²)/(n+b²) que je te demandais quel calcul tu as fait. Manifestement aucun, c'est faux ! Prends a=-b (possible, puisqu'on est sur R), et tu aboutis à une inégalité fausse.
J'ai l'impression que tu n'as même pas regardé comment est faite cette fonction x--> (n-x²)/(n+x²).

Pour le 3, si tu appliques un théorème, tu n'as pas besoin de demander si c'est juste. Seulement de vérifier toi-même que les hypothèses sont bien là et que tu écris correctement la conclusion.

Enfin, pour la 4, tu peux peut-être simplement travailler sur fn-f. Sur un compact. Et même, simplement regarder comment évolue e^(-sin(x)/n) sur un intervalle.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63fbae73]

Pour 2, je n'arrive pas à voir pourquoi l'inégalité est fausse en prenant a=-b , sinon comme le calcul de la dérive ne me permet d'aboutir à rien jai pris sup |f_n-f| sur [a,b] = (2)/(n/(min|a^2|,|b^2|)+1) qui tend vers 0 en l infinii donc convergence uniforme sur les compacts vers f(x)=1
Pour 3, je pense que ma suite de fonctions ne vérifie pas l'hypothèse car sin prend des valeurs négatives puis positives mais en prenant sur [-b,b] sup|f_n-f| = e^(-n|b|)sun(n^2|b| qui tend vers 0 en l infini il y a CUC
4) sup|f_n-f| = max(|a^2|,|b^2|)e^(-sin(max a,b)/n)-1 qui tend vers 0 en l infini donc CUC

[gg0]

"je n'arrive pas à voir pourquoi l'inégalité est fausse en prenant a=-b" ??? Tu n'as pas remplacé a par -b ? Si tu es aussi incompétent, je vais le faire pour toi :
(n-b²)/(b²+n)>(n-x²)/(n+x²)> (n-b²)/(n+b²)
Et ça dit qu'un nombre ( (n-b²)/(b²+n) ) est strictement inférieur à lui-même !!

Bon, je vais arrêter de te répondre pendant quelques jours, le temps que tu te décides à faire ton travail proprement. En appliquant les règles de calcul (sans inventer les résultats) et les théorèmes du cours.